dispense

ANALISI I:

Un’introduzione al concetto di numero reale
Note sintetiche sui numeri reali

 

ALGEBRA:

Sistemi lineari:

AL_1.1 L’algoritmo d’eliminazione di Gauss
AL_1.2 L’algoritmo di Gauss e i sottospazi di
AL_1.3 Esempi sull’algoritmo di Gauss

La prima e` molto importante: contiene tutta la teoria dell’algoritmo di eliminazione. Contiene anche una rassegna di sue applicazioni ai problemi di algebra lineare in spazi di dimensione finita. Non si puo` pensare di superare l’esame senza possedere almeno la capacita` di applicarlo ad ogni tipo di sistema lineare “in carne ed ossa”.

La seconda e` un’appendice alla prima, contenente l’applicazione dell’algoritmo di eliminazione alla risoluzione di alcuni problemi riguardanti i sottospazi di : dati due spazi definiti da due sistemi di generatori, descrive come decidere se l’uno e` incluso nell’altro o se sono identici, e come ottenere sistemi di generatori o basi per il sottospazio somma e quello intersezione.

La terza e` una breve esercitazione svolta.

AL_1.4 Sulla definizione di sistemi scala.

AL_1.5 Pemutazioni di righe e colonne nell’algoritmo di Gauss-Jordan.
AL_1.6 Esempi di permutazione di colonne nell’algoritmo di Gauss-Jordan. (30/1/2014)
I migliori suggerimenti su come trattare gli scambi di colonne sono reperibili nella dispensa seguente AL_5.4, sulle applicazioni invertibili (nota a pagg. 8-9).

 

Lo spazio euclideo:

AL_2.1 Lo spazio euclideo

AL_2.2 Introduzione agli spazi euclidei complessi e alle proiezioni.
AL_2.3 La proiezione su sottospazi generati da sistemi indipendenti.
AL_2.4 Unicita` della proiezione su sottospazi di dimensione finita.
AL_2.5 Il prodotto vettore.
AL_2.6 Addendum alla dispensa AL_2.4. Il complemento ortogonale. (8/2/2015).

 

 

Teoria della dimensione:

AL_3.1 Indipendenza lineare e basi
La dispensa fondamentale sulla teoria della dimensione degli spazi vettoriali.

AL_3.2 Somma diretta di più spazi.
AL_3.3 La somma diretta in . (18/12/2014)

AL_3.4 Il teorema di Grassmann per i sottospazi.
AL_3.5 Dimostrazione semplificata del teorema di Grassmann per i sottospazi.

 

Matrici e determinanti

AL_4.1 Matrici (I). (31/12/2013)
AL_4.2 Matrici (II). (31/12/2013)
AL_4.3 Matrici (III). (31/12/2013)
AL_4.4 Matrici (IV). (31/12/2013)

AL_4.5 La matrice inversa.
Dispensa sulla teoria della matrice inversa. Per il calcolo pratico, far riferimento alla pag. 41 della dispensa sull’algoritmo di Gauss, e alla dispensa seguente sulle applicazioni invertibili, ad essa strettamente correlata.

AL_4.6 Determinanti (I). (16/12/2014)
AL_4.7 Determinanti (II). (16/12/2014)
Quest’ultima contiene complementi sulla formula dello sviluppo di Laplace, quella dell’inversa e qualche cenno sulla definizione di determinante.

La dispensa seguente contiene due esempi di calcolo di determinanti.
AL_4.8 Esempi di calcolo di determinanti (16/12/2014)

Le due dispense seguenti presentano vecchie esposizioni del materiale contenuto piu` su.

AL_4.9 Il determinante di matrici triangolari. (21/12/2013)
Questa dispensa contiene, oltre all’appendice con la dimostrazione piu` breve facente uso dello sviluppo di Laplace, anche di una prova diretta dalla definizione della formula del determinante per matrici triangolari e diagonali, ed il suo impiego nel calcolo dei determinanti.

AL_4.10 Il calcolo del determinante mediante l’algoritmo di Gauss.
Per favore, leggere la dispensa precedente sui determinanti di matrici triangolari da pag.5 a pag.8 prima di affrontare qualunque esercizio di calcolo di determinanti per eliminazione, per evitare errori insidiosi.

Nota del 16/12/2014: alla fine della dispensa AL_4.6 (Determinanti (I) ), sono state riesposte sinteticamente le precauzioni necessarie per il calcolo.

AL_4.11 Indipendenza di righe e colonne di una matrice quadrata. (18/12/2015)
Questa dispensa breve presenta una dimostrazione differente da quella, immediata, derivante dall’uguaglianza del determinante di una matrice e della sua trasposta, che non dipende dalla teoria dei determinanti.

AL_4.12 Il teorema di Binet (27/12/2016)
Contiene una prova del teorema di Binet a partire dalla definizione di determinante di Artin (unica funzione multilineare, alternante, che vale 1 sulla base canonica).

 

Applicazioni lineari:

AL_5.1 Applicazioni Lineari I (generalita` e teorema di Grassmann)

AL_5.2 Un’altra prova del teorema di Grassmann sulla dimensione del nucleo e dell’immagine.

AL_5.3 Applicazioni Lineari II (Equazioni lineari, rappresentazione, e applicazioni fra spazi euclidei)

Quest’ultima dispensa contiene, accanto ad alcune proprieta` generali delle equazioni lineari anche parte del contenuto delle dispense del gruppo seguente. Il capitolo sulle applicazioni lineari fra spazi euclidei e` sostanzialmente identico alla prima sezione della prima delle dispense del gruppo seguente.

AL_5.4 Applicazioni invertibili. (6/12/2014)

AL_5.5 Il teorema di decomposizione del dominio. (22-11-2015)

AL_5.6 Applicazioni lineari su uno spazio di dimensione finita. (8/12/2016)

Questa dispensa contiene una dimostrazione semplificata del teorema di Grassmann a partire da un lemma sull’immagine di un’applicazione lineare. Contiene anche prove del teorema di decomposizione del dominio e di quello di invarianza della dimensione per applicazioni biiettive.

 
Applicazioni lineari e matrici:

AL_6.1 Rappresentazione di applicazioni lineari
AL_6.2 Coordinate e matrice associata ad un’applicazione lineare
AL_6.3 Cambi di base.

La prima dispensa consta di tre parti, delle quali le ultime due sono state notevolmente semplificate nelle altre due dispense di questo gruppo. Si raccomanda comunque di studiarne con cura la prima sezione, sulle applicazioni lineari in , dando un’occhiata anche alla convenzione di Einstein, che non viene adoperata nel corso, ma che lo e` su molti libri. Se si preferisce, si puo` pero` studiarne il contenuto sulla penultima dispensa del gruppo precedente. Le altre due sezioni presentano in forma astratta le informazioni contenute nelle ultime due dispense, utilizzate spesso negli esercizi d’esame.

AL_6.4 La convenzione di Einstein (27/12/2016)
Contiene delle prove abbreviate dei risultati precedenti sui cambi di base e sulla matrice associata.

 

Diagonalizzazione:

AL_7.1 La diagonalizzazione (vers. 3.1)

Dispensa fondamentale, in parte integrata e semplificata nelle dispense seguenti, contenente la teoria spettrale in dimensione finita. Contiene anche alcuni sviluppi che verranno in seguito applicati allo studio dei massimi e dei minimi di funzioni di piu` variabili, come lo studio del segno delle forme quadratiche.

AL_7.2 Un’altra prova del teorema spettrale complesso.

AL_7.3 Relazioni fra molteplicità algebrica degli autovalori e dimensioni dei relativi autospazi.
Il contenuto di questa dispensa e` interamente contenuto, semplificato e migliorato in quella piu` giu` sui criteri di diagonalizzabilita`.

AL_7.4 Costruzione di un’applicazione, nota una base di suoi autovettori.
In questa dispensa viene esposto come costruire una matrice con autovalori ed autovettori assegnati.

AL_7.5 Diagonalizzabilita` e basi spettrali. (9/12/2013)
Viene qui provato il criterio generale di diagonalizzabilita`: l’esistenza di basi spettrali.

AL_7.6 Criteri di Diagonalizzabilita`. (21/12/2013)
Viene qui presentato il legame fra molteplicita` algebrica di un autovalore nell’equazione caratteristica e la dimensione del suo autospazio, assieme ad un criterio generale di diagonalizzabilita`, basato su di essi, utile in pratica. Qualche semplificazione e` reperibile nella dispensa AL_7.11 seguente.

AL_7.7 Il segno delle forme quadratiche. (24/12/2013)

AL_7.8 La diagonalizzabilita` in pratica (I). (29/12/2014)
AL_7.9 La diagonalizzabilita` in pratica (II). (29/12/2014)
AL_7.9_errata-corrige. (14/7/2016)
AL_7.10 La diagonalizzabilita` in pratica (III). (31/12/2014)
Il gruppo di dispense precedente contiene alcuni esempi di impiego integrato di tutti i resultati di diagonalizzabilita` nella pratica, con varie questioni teoriche collegate.

AL_7.11 Diagonalizzabilita` e dimensione degli autospazi (27/12/2016)
Contiene una versione semplificata della dimostrazione del criterio generale di diagonalizzabilita`: la somma delle dimensioni degli autospazi e` uguale alla dimensione del dominio.

 

GEOMETRIA:

G_1.1 Equazioni parametriche (rette, segmenti, piani, angoli, triangoli e poligoni convessi)
G_1.2 Applicazioni del metodo dei vettori (bisettrice, baricentro, centro di massa)
G_1.3 I vettori e la geometria analitica (i vettori e le equazioni implicite e parametriche)
G_1.4 Intersezioni di rette e piani
G_1.5 Distanze e proiezioni
G_1.6 Spazi affini e loro posizioni reciproche.

G_1.7 Esistenza della retta di minima distanza fra due rette nello spazio (9/12/2013).
G_1.8 Formula per la distanza di un punto da un piano parametrico in . (8/2/2015)
G_1.9 Formula per la distanza fra due rette sghembe in . (10/2/2015)

Tutto il gruppo di dispense riguarda vari aspetti geometrici del metodo vettoriale, ed i suoi rapporti con la geometria analitica classica (Fermat-Cartesio).

 

ANALISI II:

Teorema fondamentale dell’Algebra
Limiti di funzioni omogenee

Il cambio di variabile nei limiti

 

Calcolo differenziale in piu` variabili:

(31-5-2014) Derivata direzionale e teorema di Fermat. (I)
(31-5-2014) Introduzione al differenziale per funzioni scalari. (II)
(31-5-2014) Il differenziale ed il gradiente. (III)
(31-5-2014) Il teorema del differenziale totale. Funzioni a valori vettoriali. (IV)
(31-5-2014) Rette e piani tangenti. (V)
(31-5-2014) Direzioni di massima pendenza, funzioni composte, e curve di livello. (VI)
Questo gruppo di dispense contiene un’esposizione dei resultati del calcolo differenziale in piu` variabili.

Estremi vincolati
Un’esposizione rapida delle tecniche di calcolo degli estremi di funzioni su grafici cartesiani, sostegni di curve parametriche o luoghi di zeri (vincoli impliciti).

(1-6-2015) La formula di Taylor (I)
(1-6-2015) La formula di Taylor (II)

 
Teoremi per le funzioni implicite:

(2-6-2014) Introduzione e teorema delle funzioni implicite: il caso continuo. (I)
(2-6-2014) I teoremi delle funzioni implicite regolari, scalari e vettoriali. (II)

 
Curve parametriche:

(1-6-2015) Un esempio di curva continua non rettificabile.

 
Teoria dei campi di vettori e delle forme differenziali lineari:

CAMPI E FORME I.
CAMPI E FORME II.
CAMPI E FORME III.

 
Misura e Integrazione:

La misura di Lebesgue.
L’integrale di Lebesgue
Alcuni cambi di variabile negli integrali doppi