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stampato integrale delle lezioni (sostanzialmente è l'unione dei pdf
delle singole lezioni).
Il seguente file pdf contiene alcuni esercizi sugli argomenti svolti nel
corso. Si tratta (per ora) di una prima stesura, quindi errori di tutti i
tipi sono quasi inevitabili. Ogni segnalazione in proposito è
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| Data/ora |
Lezione |
Argomento sommario |
File .avi |
File .pdf |
| 16/01/12 - 18:00-20:00 |
1 |
Presentazione del corso: analisi in dimensione infinita (problemi di minimo e di evoluzione). Definizione e primi esempi di spazio metrico. |
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| 2 |
Dagli spazi metrici agli spazi topologici. Successioni di Cauchy e completezza. |
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| 24/01/12 - 17:00-19:00 |
3 |
Spazi di Banach e spazi di Hilbert |
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| 4 |
Continuitą, semicontinuitą e compattezza per successioni. Coercivitą. Teorema di Weierstrass e sue varianti. |
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| 31/01/12 - 17:00-19:00 |
5 |
Completezza di R ed R^n. Compattezza in R ed R^n. |
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| 6 |
Serie assolutamente convergenti in spazi di Banach. Totale limitatezza e legami con la compattezza per spazi metrici. Teorema delle contrazioni in spazi metrici. |
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| 09/02/12 - 17:00-19:00 |
7 |
Convergenza puntuale e uniforme di funzioni. Convergenza totale di serie. Completezza dello spazio delle funzioni continue su un intervallo rispetto alla convergenza uniforme. |
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| 8 |
Dimostrazione del teorema di esistenza ed unicitą per equazioni differenziali con secondo membro lipschitziano (mediante il teorema delle contrazioni) |
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| 17/02/12 - 18:00-20:00 |
9 |
Teorema di Ascoli-Arzelą e relativa dimostrazione |
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| 10 |
Dimostrazione del teorema di sola esistenza per equazioni differenziali con secondo membro continuo (mediante approssimanti "con ritardo") |
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| 02/03/12 - 18:00-20:00 |
11 |
Compattezza in spazi metrici: equivalenza tra compattezza per ricoprimenti, compattezza per successioni, completezza + totale limitatezza |
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| 12 |
Teorema di Heine-Cantor (dimostrazione con compattezza per successioni e per ricoprimenti). Uniforme continuitą e passaggio al limite negli integrali. |
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| 06/03/12 - 17:00-19:00 |
13 |
Introduzione al calcolo delle variazioni. Metodi diretti vs indiretti. Derivata di Gateaux ed equazione di Eulero. Primo esempio di funzionale integrale. |
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| 14 |
Difficoltą nell'applicare il metodo diretto rispetto alla convergenza uniforme. Ulteriori esempi di funzionali integrali (anche con non esistenza del minimo) |
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| 14/03/12 - 18:00-20:00 |
15 |
Funzionali integrali dipendenti dalla sola derivata: il caso convesso |
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| 16 |
Funzionali integrali dipendenti dalla sola derivata: esempi nel caso non convesso. Banalitą dei funzionali integrali dipendenti dalla sola u. |
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| 22/03/12 - 17:00-19:00 |
17 |
Funzionali integrali dipendenti da x, u, u'. Condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann per equazioni differenziali del secondo ordine. |
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| 18 |
Funzionali integrali dipendenti da derivate di ordine successivo. Equazione di Eulero in generale. Esempi di non esistenza del minimo. |
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| 28/03/12 - 18:00-20:00 |
19 |
Esempio di funzionale integrale non convesso con esistenza del minimo. Introduzione ai metodi diretti nel calcolo delle variazioni. Derivate deboli. Spazi L^2 e H^1. |
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| 20 |
Spazio l^2 (successioni a quadrato sommabile). Basi algebriche e basi Hilbertiane.
Non compattezza forte delle palle in dimensione infinita. |
Missing :-( |
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| 04/04/12 - 16:30-19:30 |
20 bis |
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| 21 |
Convergenza debole. Compattezza debole delle palle in un Hilbert. Semicontinuitą debole della norma e di funzionali integrali con integranda convessa. |
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| 22 |
Caratterizzazioni equivalenti dello spazio di Sobolev H^1. Holderianitą delle funzioni di H^1. Primo esempio di metodo diretto nel calcolo delle variazioni. |
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| 18/04/12 - 18:00-20:00 |
23 |
Esempio standard di metodo diretto nel calcolo delle variazioni applicato ad un funzionale integrale |
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| 24 |
Serie di Fourier come base Hilbertiana di L^2 |
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| 24/04/12 - 17:00-19:00 |
25 |
Equazione del calore risolta mediante serie di Fourier. Effetto regolarizzante. Ruolo delle condizioni al bordo nella scelta della base Hilbertiana. |
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| 26 |
Teorema spettrale per operatori compatti in spazi di Hilbert |
Missing :-( |
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| 09/05/12 - 18:00-20:00 |
27 |
L'equazione delle onde: teoria in un intervallo con serie di Fourier e su tutto R come metodi classici. Dominio di dipendenza della soluzione. |
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| 28 |
Problema di minimo legato alle posizioni di equilibrio dei fili inestensibili |
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| 16/05/12 - 18:00-20:00 |
29 |
Ulteriori commenti sul dominio di dipendenza per l'equazione delle onde in dimensione pari e dispari. Equazioni di Eulero per funzionali in pił variabili (in partenza) |
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| 30 |
Equazione Laplaciano(u)=f. Serie di Fourier in due variabili |
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