Stefano Galatolo, blog didattico, Analisi 1, Algebra linerare e Analisi 2

Ecco il testo del compito con traccia di soluzione.

2016-compitin-R 2016-1-a 2016-1-b 2016-1-c

I risultati della correzione sono stati messi sul sistema di iscrizione agli esami.

Ognuno dovrebbe aver ricevuto una notifica.

In generale il compito è andato sorprendentemente bene e ci sono stati parecchi voti oltre il 30.

Gli errori più comuni sono stati:

1. nel 3 esercizio aver confuso la base del kernel della “matriciona” con la base dell intersezione
2.  mancanza di spiegazioni o di passaggi logici necessari nelle piccole dimostrazioni richieste nell esercizio 1 ed in particolare aver fatto la verifica solo in un esempio invece che in generale.
3. aver cercato di dimostrare che lo spazio V nell esercizio 2 era un sottospazio vettoriale mentre non lo era.

Il compito di Algebra Lineare sarà il 26 gen 2016 dalle 15:00 in aula B11.

Ci sarà un ricevimento collettivo nella prima settimana al ritorno dalle vacanze.

Mi appresto a creare un evento sul sito degli esami unipi, al quale bisognerà registrarsi.

Presente 1 persona, promossi 0 persone.

Questo il testo della prima parte:

nov-app-test

Soluzione

1 2 3 4 5 6 7 8
D D C B A A B

Metto un collegamento alla mia pagina personale attuale, dove compaiono varie informazioni aggiornate:

Stefano Galatolo Dipartimento di Matematica, Unipi

Modulo di Algebra Lineare – A.A. 2015-2016

• Preliminari/Prerequisiti

Insiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi. Polinomi, geometria analitica, trigonometria.

• Spazi vettoriali ed applicazioni lineari
  – Campi e spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.
  – Dipendenza e indipendenza lineare, generatori, basi e componenti di un vettore rispetto ad
  una base, dimensione di uno spazio e di un sottospazio vettoriale. Span di un insieme di
  vettori.
  – Somma ed intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di
  sottospazi e componenti di un vettore rispetto ad una somma diretta.
  – Applicazioni lineari. Matrice associata ad un’applicazione lineare dopo aver scelto basi in
  partenza ed arrivo.
  – Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto tra matrici. Trasposta ed
  inversa di una matrice.
  – Matrici di cambio di base. Similitudine tra matrici.
  – Nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Teorema della dimensione. Legami tra
  iniettività, surgettività e dimensioni degli spazi di partenza ed arrivo per applicazioni lineari.
  – Determinante di una matrice: definizione, principali proprietà, esistenza, unicità. Calco-
  lo mediante l’algoritmo di Gauss e gli sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta,
  dell’inversa, del prodotto.
  – Rango di una matrice. Calcolo del rango.
  – Autovalori, autovettori, autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
  – Polinomio minimo, polinomio caratteristico. Relazioni tra coefficienti del polinomio
  caratteristico, traccia, determinante, autovalori.
  – Cenni sulle forme canoniche. Applicazioni e matrici simmetriche. Criteri di diagonalizzabilità sui reali e sui complessi.
• Prodotti scalari e forme quadratiche
  – Prodotto scalare canonico in Rn. Norma e distanza.
  – Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
  – Matrici ortogonali.
  – Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi.
  – Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Definizione di segnatura.
  – Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica.
  – Prodotti scalari in generale e matrici ad essi associate. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortogonali ed ortonormali (e procedimento di ortogonalizzazione) rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo (cenni).
  – Applicazioni simmetriche rispetto ad un generico prodotto scalare e proprietà delle matrici ad
  esse associate. Teorema spettrale rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo.
• Geometria analitica
  – Vettori geometrici nel piano, nello spazio, e pi`u in generale in Rn.
  – Geometria analitica nel piano. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Angoli e
  distanze.
  – Geometria analitica nello spazio. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani. Angoli
  e distanze tra rette e piani.
  – Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di Rn.
  – Affinità e isometrie in Rn.
• Sistemi lineari
  – Scrittura di un sistema lineare in termini di matrici e vettori. Interpetazioni in termini di
  combinazioni lineari, Span, ed in termini di applicazioni lineari.
  – Struttura generale dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non
  omogeneo.
  – Matrici a scala e risoluzione di un sistema lineare mediante algoritmo di Gauss.
  – Risolubilità di un sistema lineare e rango: teorema di Rouché-Capelli.
  – Metodo di Cramer per sistemi lineari.

Modulo di Analisi II – A.A. 2015-2016

• Preliminari/Prerequisiti
  –  Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
  – Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,
  forme quadratiche).
• Calcolo differenziale in più variabili
  – Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
  – Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili:
  linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
  – Limiti e continuità per funzioni di più variabili.
  – Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico.
  – Differenziale per funzioni di più variabili e sua interpretazione geometrica in termini di
  (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
  – Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili.
  – Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili.
  – Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario.
  – Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili. Generalizzazioni
  del teorema di Weiertrass nel caso di insiemi non limitati.
  – Massimi e minimi vincolati.
  – Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.
  – Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
  – Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
  – Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
  – Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
  – Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
  – Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle
  coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
  – Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
  – Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.
• Curve, superfici, calcolo vettoriale
  – Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
  – Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
  – Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
  – Forme differenziali.
  – Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte e potenziali.
  – Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse. Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.
  – Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
  – Area di una superficie: definizione e calcolo.
  – Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
  – Operatori differenziali: divergenza, rotore,  gradiente. Relazioni tra gli operatori
  differenziali.
  – Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
  – Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.
  – Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.