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Verbalizzazioni e orali venerdi 22 alle 14.30 in aula 1 al dipartimento di matematica.
2016-3-comR
2016-3-c
2016-3-b
2016-3-a
Risultano sufficienti:
Analisi 2
Bertozzi M 27
Qosja D 26
Petrognani V 23
Distefano M 29
Albicocchi F 27
Pasquinelli A 22
Montagnani G 20
Vagaggini S 26
Valesi M 27
Lenrri S 26
Becherini M 29
Di Pietra G 18
Pasquini G 22
Arestia S 22
Eldy S 21
Cancemi M 19
Martelli I 29
Schiaffino G 22
Sarti S 27
Tomassi M 22
Morelli S 24
Fall N 27
Muraca G 18
Montana B 18
Algebra Lineare
Ristori L 18
Malloggi F 28
Iadarola F 18
A2 + AL
Sussi G 18
Santabarbara R 23
Tarchini F 27
A seguito di numerose richieste, ci sarà un ricevimento Giovedi 14 alle 11 in Aula 1 (piano terra a destra dell’entrata) al Dipartimento di Matematica.
Ecco il compito, i test e le tracce di risposta.
2016-2-com
2016-2-c
2016-2-b
2016-2-a
2016-2-comR
Terminata l’interminabile correzione dei compiti, risultano sufficienti:
Bastioni L 26
Filippetto I 19
Dragoni F 29
Comino C 27
Ferrari C 18
Tolomei S 20
Todaro G 25
Giusti M 18
Bajrahtari E 18
Pellegrinucci A 19
Alderighi L 18
Lenrri S. 22
Matteucci M 19
Faraci S 28
Bertolacci G 27
Carli P 20
Cirri M 20
Nepa F 25
Cirinnà M 20
Angelini F 29
T. Matarese N 19
Sipione D 32
Acerbi E 18
Soldaini E 20
Gallo D 21
Tambellini N 26
Del Moro L 18
Salutari F 24
Scarselli C 23
Novara M 28
Buscanera G 19
Lanterno G 19
Contardi S 20
Ravalli M 20
Costa G 18
Lopriore E 33
Carlotti D 21
Landi F 20
Canetta A 21
Urbani R 27
Schiaffino G 22
Montemaggi L 19
Paolini A 19
Villano G 18
Sbrana C 32
Matarrese F 18
L’impressione generale che ho avuto è che molti hanno fatto punti quasi solo sul test, che probabilmente era troppo facile e poco selettivo e sulle domande molto semplici (tipo dove è il minimo della funzione).
Ci sono stati molti errori incomprensibili e comuni, tipo: studiare la funzione come se fosse max (|x|,x^2) (funzione di 1 variabile!, qui credo sia circolato un qualche suggerimento sbagliato)
Oppure dire che laddove la circuitazione fa 0 non ha senso calcolarla.
Altro errore comune è “la funzione è continua perché |x| e y^2 sono continue” … e il max?
Ci vediamo l’8 per verbalizzazioni e orali. Ore 11 in sala seminari al dipartimento di matematica (1 piano a sinistra).
Per qualsiasi domanda, scrivetemi.
Ci sarà ricevimento studenti giovedì 16 prossimo, in aula 2 al dipartimento di matematica.
Questo è l’ultimo ricevimento che posso fare prima del prossimo appello a causa degli impegni che si susseguiranno fino al giorno dell esame, chiunque fosse interessato mi faccia sapere.
In caso posso rispondere a domande varie via email.
S
Testi e soluzione della prova scritta:
2016-1-comR
2016-1-a
2016-1-b
2016-1-c
In generale ho notato che la parte di algebra lineare è stata svolta abbastanza bene, come era successo anche al compitino, mentre per analisi 2 le cose sono andate molto meno bene.
Purtroppo si nota molta confusione anche su concetti di base che dovrebbero essere invece molto chiari, tipo:
Un campo a rotore zero è necessariamente conservativo? (detto e ridetto, visto in esercizi ed esempi, e c’è chiaramente spiegato nel libro)
Le curve di livello di una funzione limitata sono insiemi limitati? (qui probabilmente non si ha chiara la definizione di insieme limitato)
Una funzione definita “a pezzi” dove i pezzi sono composizioni di funzioni continue è continua? ( dipende da come si incollano i pezzi)
Ritorno a ripetere: almeno una volta bisogna leggere quello che c’è scritto nel libro e ragionarci.
Un errore grave che è stato fatto più di una volta ad algebra lineare è stato il confondere la diagonalizzabilità con il fatto che gli autovalori siano tutti diversi. Anche li, bastava una guardata al libro per chiarirsi le idee, se a lezione e sugli appunti non erano chiare.
Risultano sufficienti:
-Bayraktari (?) Enes 26
-Toschi Tommaso 29
-Gallina Giuseppe 26
-Tambellini Nicola 27
-Barghigiani Giulia 27
-Sommello Emanuele 18
-Dragoni Federico 20
-Gallo Davide 17
-Urbani Riccardo 23
-Antonelli Luca 18
– Morante Elena 18
-Bertolacci Felice 18
-Salutari Francesco 18
-Arestia Stefano 28
-Rosati Francesca 21
-Menichetti Lorenzo 21
-Beltràn Juan Camilo 19
-Tomassi Marianna 18
-Zulberti Luca 29
-Riccobaldi Stefano 27
-Lazzari Sara 18
-Bonuccelli Beatrice 18
-Pisaneschi Giulio 18
-Bianconi Andrea 18
-Gigli 18
Orali e verbalizzazioni si terranno in aula riunioni, al Dipartimento di Matematica (edificio principale). Venerdi alle 10.
Ulteriori eventuali date saranno decise venerdi e saranno comunicate in seguito.
Modulo di Analisi II – A.A. 2015-2016
Preliminari/Prerequisiti
– Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
– Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,
forme quadratiche).
Calcolo differenziale in più variabili (Cap. 2, sezioni 1-5, Cap. 3, sezioni 1-6, Cap. 4, sezioni 1-3)
– Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
– Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili: linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
–Calcolo infinitesimale per le curve
–Lunghezza e integrali lungo una curva
– Limiti e continuità per funzioni di più variabili.
– Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico.
– Differenziale per funzioni di più variabili. (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
– Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili.
– Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili.
– Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario.
– Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili.
– Massimi e minimi vincolati.
– Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.
Integrali (Cap. 5, sezioni 1-4)
– Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
– Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
– Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
– Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
– Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
– Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle
coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
– Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
– Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.
–Derivazione sotto segno di integrale
Calcolo vettoriale (Cap 6, sezioni 1-6)
– Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
– Area di una superficie: definizione e calcolo.
– Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
– Operatori differenziali: divergenza, rotore, gradiente. Relazioni tra gli operatori
differenziali.
– Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
– Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.
– Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.
Ci sarà un grande ricevimento/esercitazione con Carlo
in Aula F1 per il 30 maggio ore 10:30.
Nel 2013 ho tenuto un corso di analisi 2 con C. Carminati. I compiti furono messi sul suo blog.
Eccoli qui: https://eametc.wordpress.com/?s=2013
https://eametc.wordpress.com/?s=2014
Programma del corso di Algebra Lineare ed Analisi 2
Modulo di Algebra Lineare – A.A. 2015-2016
Preliminari/Prerequisiti
Insiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi. Polinomi, geometria analitica, trigonometria.
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari
– Campi e spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.
– Dipendenza e indipendenza lineare, generatori, basi e componenti di un vettore rispetto ad
una base, dimensione di uno spazio e di un sottospazio vettoriale. Span di un insieme di
vettori.
– Somma ed intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di
sottospazi e componenti di un vettore rispetto ad una somma diretta.
– Applicazioni lineari. Matrice associata ad un’applicazione lineare dopo aver scelto basi in
partenza ed arrivo.
– Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto tra matrici. Trasposta ed
inversa di una matrice.
– Matrici di cambio di base. Similitudine tra matrici.
– Nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Teorema della dimensione. Legami tra
iniettività, surgettività e dimensioni degli spazi di partenza ed arrivo per applicazioni lineari.
– Determinante di una matrice: definizione, principali proprietà, esistenza, unicità. Calco- lo mediante l’algoritmo di Gauss e gli sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta,
dell’inversa, del prodotto.
– Rango di una matrice. Calcolo del rango.
– Autovalori, autovettori, autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
– Polinomio minimo, polinomio caratteristico. Relazioni tra coefficienti del polinomio
caratteristico, traccia, determinante, autovalori.
– Cenni sulle forme canoniche. Applicazioni e matrici simmetriche. Criteri di diagonalizzabilità sui reali e sui complessi.
Prodotti scalari e forme quadratiche
– Prodotto scalare canonico in Rn. Norma e distanza.
– Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
– Matrici ortogonali.
– Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi.
– Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Definizione di segnatura.
– Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica.
– Prodotti scalari in generale e matrici ad essi associate. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortogonali ed ortonormali (e procedimento di ortogonalizzazione) rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo (cenni).
– Applicazioni simmetriche rispetto ad un generico prodotto scalare e proprietà delle matrici ad
esse associate. Teorema spettrale rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo.
Geometria analitica
– Vettori geometrici nel piano, nello spazio, e pi`u in generale in Rn.
– Geometria analitica nel piano. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Angoli e
distanze.
– Geometria analitica nello spazio. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani. Angoli
e distanze tra rette e piani.
– Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di Rn.
– Affinità e isometrie in Rn.
Sistemi lineari
– Scrittura di un sistema lineare in termini di matrici e vettori. Interpretazioni in termini di
combinazioni lineari, Span, ed in termini di applicazioni lineari.
– Struttura generale dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non
omogeneo.
– Matrici a scala e risoluzione di un sistema lineare mediante algoritmo di Gauss.
– Risolubilità di un sistema lineare e rango: teorema di Rouché-Capelli.
Modulo di Analisi II – A.A. 2015-2016
Preliminari/Prerequisiti
– Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
– Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,
forme quadratiche).
Calcolo differenziale in più variabili
– Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
– Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili:
linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
– Limiti e continuità per funzioni di più variabili.
– Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico.
– Differenziale per funzioni di più variabili e sua interpretazione geometrica in termini di (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
– Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili.
– Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili.
– Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario.
– Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili.
– Massimi e minimi vincolati.
– Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.
– Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
– Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
– Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
– Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
– Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
– Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle
coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
– Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
– Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.
Curve, superfici, calcolo vettoriale
– Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
– Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
– Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
– Forme differenziali.
– Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte e potenziali.
– Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse. Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.
– Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
– Area di una superficie: definizione e calcolo.
– Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
– Operatori differenziali: divergenza, rotore, gradiente. Relazioni tra gli operatori
differenziali.
– Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
– Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.
– Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.
Difficilissimi, ovviamente.
Detto questo, siccome continuo a ricevere richieste di spiegazioni su questo punto, ho deciso di scrivere qui quello che si può dire adesso a riguardo.
Abbiamo fatto, a grande richiesta, un compito di algebra lineare a fine del primo modulo didattico.
Avete visto come ha funzionato: il compito è costituito da due prove, una a risposta multipla e una a risposta aperta.
Prima si consegna il test, poi chi ha superato una certa soglia passa alla seconda parte. Il tutto ha preso circa 3 ore.
Da giugno cominceranno gli appelli veri e propri in cui cominceremo a verbalizzare. Visto che mi è stato richiesto da molti, io terrei separata la prova di Analisi 2 da quella di Algebra Lineare.
Questo comporta un lavoro organizzativo più complesso ma spero che con la vostra collaborazione nel rispettare le regole e i tempi, ne valga la pena.
Quindi le regole che penso di implementare sono più o meno le seguenti:
- per “passare” l’esame devono essere sufficienti le prove relative ad entrambi i moduli: AL e AM2.
- L’orale è facoltativo in caso gli scritti siano sufficienti. L’orale verterà su entrambi i moduli.
- In ogni appello si può sostenere sia la prova di AL che quella di AM2.
- Ogni prova consegnata annulla le precedenti relative allo stesso modulo. (quindi se avete una parte sufficiente pensateci bene prima di consegnare di nuovo)
- A inizio esame vengono consegnate le prove a risposta multipla. Ci saranno probabilmente 4 esercizi per modulo e 30 minuti di tempo per chi ha intenzione di partecipare all esame per un solo modulo. 1 ora circa per chi vuole provare entrambi.
Chi prova entrambi, alla fine dell’ ora deve consegnare entrambi le prove.
- A fine ora, vengono presentate le soluzioni ufficiali. Dopo una BREVISSIMA eventuale discussione, chi ha superato la soglia continua con il compito a risposta aperta.
- Ci saranno 2 esercizi per modulo, circa 45 minuti per chi deve fare un solo modulo e 1 ora abbondante per chi prova entrambi i moduli.
Con la collaborazione di tutti spero possiamo riuscire a completare la procedura “prova scritta” in 3-4 ore.
Nella data/date assegnateci per gli orali verrà fatta una breve discussione dello scritto, eventuali verbalizzazioni dirette e poi gli orali per chi sceglie di farli o per chi essendo in una situazione di “compito non completamente sufficiente, ma rimediabile” vuole provare a rimediare all’ orale.
L’orale parte da una discussione degli errori fatti allo scritto, per cui è FORTEMENTE consigliato preparare a casa le risposte ad eventuali domande su questi. Lo so che è incredibile ma anche sapendolo, non tutti si preparano e quindi lo ripeto per l’ennesima volta.
Per eventuali ulteriori domande o proposte contattatemi per email, eventualmente integrerò questo testo.
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