Modulo di Analisi II – A.A. 2017-2018
Preliminari/Prerequisiti
– Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
– Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,
forme quadratiche).
Calcolo differenziale in più variabili (Cap. 2, sezioni 1-5, Cap. 3, sezioni 1-6, Cap. 4, sezioni 1-3)
– Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
– Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili: linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
–Calcolo infinitesimale per le curve
–Lunghezza e integrali lungo una curva
– Limiti e continuità per funzioni di più variabili.
– Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico.
– Differenziale per funzioni di più variabili. (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
– Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili.
– Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili.
– Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario.
– Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili.
– Massimi e minimi vincolati.
– Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.
Integrali (Cap. 5, sezioni 1-4)
– Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
– Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
– Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
– Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
– Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
– Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle
coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
– Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
– Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.
–Derivazione sotto segno di integrale
Cenni alle equazioni differenziali (Cap 1, sezioni 1-2 e un’ occhiata alla dispensa)
-Cosa è una eq. diff. (il campo di freccette)
-Quando ha soluzione e quando è unica.
-Strumenti elementari per lo studio qualitativo delle soluzioni.
-Equazioni a variabili separabili
-Equazioni lineari del primo ordine
-Cenni sulle equazioni di ordine superiore (cosa sono, come è il problema di Cauchy, lineari, omogenee e non, collegamento con la teoria dei problemi lineari)
Calcolo vettoriale (Cap 6, sezioni 1-6)
– Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
– Area di una superficie: definizione e calcolo.
– Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
– Operatori differenziali: divergenza, rotore, gradiente. Relazioni tra gli operatori
differenziali.
– Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
– Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.
– Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.
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