• Premiminari.
– Insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Insieme delle parti.
– Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C.
– Funzioni tra insiemi. Funzioni iniettive, surgettive, bigettive, invertibili. Funzione inversa. Grafico di una funzione. Interpretazione grafica di iniettività e surgettività. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme tramite una funzione.
– Funzioni e funzioni inverse elementari (valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse). Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone.
– Proprietà, dei numeri reali, completezza.
– Numeri complessi: forma cartesiana, polare, esponenziale. Coniugio, operazioni algebriche tra numeri complessi, potenze e radici n-esime. Teorema fondamentale dell’algebra e molteplicità delle radici di un polinomio. Esponenziale complesso.
– Insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo di un sottoinsieme. Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore. Caratterizzazione di inf e sup. – Equazioni, disequazioni e loro interpretazione grafica.
– Principio di induzione.
• Limiti. – Limite di una successione di numeri reali. – Teorema di unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. – Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri. – Teoremi sul limite della somma, del prodotto per una costante, del prodotto di due successioni, del quoziente. Forme indeterminate.
-Successioni monotone. Esistenza del limite delle successioni monotone. Successioni limitate. Il numero e.
– Sottosuccessioni. Relazioni tra il limite di una successione e delle relative sottosuccessioni. Uso di sottosuccessioni per mostrare che un certo limite non esiste.
– Definizione di limite di una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni: teoremi sulla somma, il prodotto, il quoziente, teorema del confronto e dei carabinieri.
– Limiti notevoli di funzioni.
– Cambio di variabile nei limiti.
– Criterio che lega i limiti di funzioni ai limiti di successioni.
– Linguaggio degli infinitesimi. Definizione e principali propriet`a di o piccolo, O grande, equivalenza asintotica.
– Successioni per ricorrenza. Teorema delle contrazioni.
• Calcolo differenziale in una variabile.
– Funzioni continue in un punto ed in un insieme. Continuit`a delle funzioni elementari. Continuit`a della composizione di funzioni continue.
– Definizione di massimo e minimo di una funzione su un insieme. Definizione di punto di massimo e punto di minimo (con enfasi sulla differenza tra massimo e punto di massimo).
– Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua su di un intervallo.
– Definizione di funzione derivabile in un punto. Definizione di funzione differenziabile in un punto. Equivalenza tra le due definizioni. Interpretazione geometrica del rapporto incrementale, della derivata e del differenziale.
– Teoremi algebrici sulle derivate: derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della composizione. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Legami tra continuit`a e derivabilit`a in un punto.
– Derivata della funzione inversa. Calcolo della derivata delle funzioni inverse elementari.
– Relazione tra il segno della derivata in un punto e la monotonia. Relazioni tra debole e stretta monotonia in un intervallo e segno della derivata prima nell’intervallo stesso.
– Teoremi sulle funzioni derivabili: Rolle, Cauchy, Lagrange.
– Teorema di de l’Hopital.
– Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange.
– Studio di funzione locale e globale, e relative applicazioni.
• Serie.
– Definizione di serie come limite delle somme parziali.
– Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
– Serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche.
– Serie a termini positivi: criterio del rapporto, del confronto, del confronto asintotico. Casi limite nel confronto asintotico.
– Criterio di Leibnitz (serie a segno alterno) e dell’assoluta convergenza (serie a segno qualunque).
– Serie di Taylor di una qualsiasi funzione derivabile infinite volte in un punto.
• Calcolo integrale in una variabile.
– Integrale di Riemann per funzioni di una variabile limitate su intervalli limitati. Significato geometrico. Partizioni di un intervallo, integrale inferiore e superiore.
– Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Proprietà dell’integrale.
– Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione continua. Utilizzo di una primitiva per il calcolo di integrali definiti. Primitive delle funzioni elementari.
– Formula di integrazione per parti. Formula di integrazione per sostituzione.
– Integrazione delle funzioni razionali. Sostituzioni razionalizzanti. Accenno all’interpretazione geometrica delle sostituzioni razionalizzanti.
– Integrali impropri: definizione nei due casi di dominio di integrazione non limitato oppure integranda non limitata.
– Criterio del confronto e del confronto asintotico per lo studio della convergenza di un integrale improprio con integranda a segno costante. Criterio dell’assoluta convergenza per lo studio della convergenza di un integrale improprio con integranda a segno variabile.
– Criterio del confronto serie integrali e sua giustificazione geometrica.
• Equazioni differenziali.
– Ordine di una equazione, equazioni in forma normale, equazioni autonome. Esempi di famiglie (dipendenti da parametri) di soluzioni di equazioni differenziali.
– Problema di Cauchy per una equazione di ordine 1. Teorema di esistenza e unicit`a. Intervallo massimale di esistenza, tempo di vita.
– Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.
– Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Metodo di variazione delle costanti.
– Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine arbitrario omogenee.
– Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee. Metodo dei coefficienti indeterminati.
– Studio qualitativo della soluzione
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