Stefano Galatolo, blog didattico, Analisi 1, Algebra linerare e Analisi 2

Dopo due appelli di orali svolti telematicamente, credo sia il caso di ribadire una cosa che probabilmente viene sottovalutata in fase di preparazione dell’ esame. Le definizioni sono importanti, particolarmente per un esame orale.
Le definizioni principali del corso di Analisi 1 sono forse una decina. Studiatele con attenzione e imparate ad esporle e spiegarle.
In particolare, assolutamente, non si può arrivare all’esame senza sapere bene le definizioni di limite, contintuità, serie, derivata, primitiva e almeno approssimativamente quella di integrale di Riemann e di equazione differenziale lineare.
Non è sufficiente sapere vagamente a cosa si riferiscono queste parole e saper fare qualche calcolo su queste cose in semplici esempi.

Come sapete a causa della emergenza Covid faremo i prossimi esami estivi solo in modalità telematica.

Gli esami saranno solo orali. Vista la quantità di orali che si prospettano e la difficoltà della modalità telematica, vi chiedo di presentarvi quando siete veramente preparati e non tanto per provare.
A questo proposito comunico che sarà quindi possibile per ogni studente partecipare al più a 2 dei 3 appelli previsti.

Possiamo usare le piattaforme teams e meet. Gli esami cominceranno il giorno in cui è programmata la prova scritta.

Chiedo a chiunque voglia partecipare agli esami di iscriversi con sufficiente anticipo, sul sito https://esami.unipi.it/ .

Io manderò a tutti gli iscritti il link per partecipare alla prova ed ulteriori dettagli di tipo informatico o organizzativo (che dipendono anche da quanti iscritti ci sono).
In linea di massima, cominceremo gli orali di ogni appello il giorno in cui in calendario ci sono stati assegnati gli scritti, alle 10.30. Una volta chiaro il numero dei candidati ci organizzeremoo in diverse riunioni telematiche. La cosa potrebbe durare diversi giorni per ogni appello. Quindi non vi aspettate di poter fare l’esame tutti il primo giorno.

Dal punto di vista pratico per partecipare all esame è importante che lo studente abbia la possibilità di scrivere e disegnare potendomi mostrare cosa sta facendo.

Questo è possibile nei seguenti modi:

-lo studente/essa si riprende davanti a una lavagna o a un grande foglio dove scrive

-lo studente/essa riesce ad avere 2 telecamere, una inquadra lui/lei e l’altra un foglio dove scrive

-lo studente/essa lavora in digitale, scrivendo, disegnando e condividendo lo schermo o la finestra dove lui disegna e scrive con me.

Sicuramente si verificheranno tanti problemi informatici quando proveremo a implementare tutte queste cose su grandi numeri, vi prego di fare prove in precedenza per vedere che tutto funzioni (il foglio si vede, la scritta è abbastanza grossa, la luce è sufficiente etc..).

Dal punto di vista ancora più pratico, visto che l’esame orale sarà l’unica prova, preparatevi sia a poter risolvere esercizi sia a rispondere a domande riguardanti la teoria.

La modalità che mi sembra migliore e che può mettervi più a vostro agio per “rompere il ghiaccio” è partire da un concetto importante del corso, lasciarvi introdurre il concetto, con definizioni e teoremi principali, e poi passare a un esercizio che si possa fare facilmente.

E’ utile quindi che vi prepariate delle brevi esposizioni sui concetti principali affrontati nel corso, cosi che possiate partire bene.

Per essere molto chiari: non possiamo permetterci situazioni come quelle che capitano spesso negli esami “tanto per provare”, faccio un esempio:

Docente: “Cominciamo, parlami delle serie. Cosa sono, cosa ci interessa sapere delle serie, quali sono i risultati principali che ci siutano a saperlo”.

Risposta ok : “Data una successione di reali a_i la serie degli a_i … bla bla si denota cosi, bla bla …. si dice che la serie converge se …. bla bla (definizione precisa). Alcuni criteri di convergenza sono…bla bla”

A questo punto segue magari la richiesta di maggior dettagli su qualcosa che è stato detto o un semplice esercizio .

Risposta non ok: “la serie è una somma di numeri “

Docente: “in che senso?”

Risposta non ok: “cioé, tipo quando…”

Seguono altri discorsi vaghi e si continua per 20 minuti senza arrivare a niente di preciso.

Ecco, un orale di questo tipo non possiamo permettercelo, quindi se si comincia molto male, senza che si sappiano neanche le definizioni, l’orale si interromperà subito.

Se ci sono altre domande, scrivetemi. Aggiungerò altre spiegazioni.

A presto.

Cari studenti, la scuola di ingegneria ci permette di continuare il servizio di tutorato anche nel secondo semestre.
Vi comunico che la persona che è stata scelta dalla scuola per il tutorato, per il corso di telecomunicazioni è
Matteo Maccanti, mentre per il corso in elettronica è Elena Morante. Comunicherò i loro indirizzi email agli studenti che me ne faranno richiesta, cosi che potrete cominciare ad organizzare delle attività.

Non so cosa sia successo precisamente ma abbiamo anche un altro tutore dedicato espressamente al corso di Analisi 1 ed è un dottorando di matematica il nome è Luigi Marangio.
E’ disponibile ad organizzare ricevimenti online anche in questo periodo.

Contattatemi per il suo email.

Risultano sufficienti:

Fracasso J. 20
Amelio L. 18
Margheriti A. 18
Bartalucci L. 18
Gelo A. 18
Palmero E. 21
Disegni S. 18
Mancini F. 20
Luterotti S. 21
Farina G. 19
Perisutti C. 22
Dati. L. 24
Furzetti D. 21
Gentile P. 18
Somma V. 22

Correzione e organizzazione verbalizzazioni.
Venerdi 31 ore 16 Aula Riunioni Dipartimento di Matematica

Ulteriori informazioni saranno pubblicate presto.

• Premiminari.

– Insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Insieme delle parti.

– Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C.

–Relazioni. Funzioni tra insiemi. Funzioni iniettive, surgettive, bigettive, invertibili. Funzione inversa. Grafico di una funzione. Interpretazione grafica di iniettività e surgettività. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme tramite una funzione. Relazione fra questi concetti e la risoluzione di equazioni.

– Funzioni e funzioni inverse elementari (valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse). Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone.

– Proprietà, dei numeri reali, completezza.

– Numeri complessi: forma cartesiana, polare, esponenziale. Coniugio, operazioni algebriche tra numeri complessi, potenze e radici n-esime. Teorema fondamentale dell’algebra e molteplicità delle radici di un polinomio. Esponenziale complesso.

– Insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo di un sottoinsieme. Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore. Caratterizzazione di inf e sup. – Equazioni, disequazioni e loro interpretazione grafica.

– Principio di induzione. 

• Limiti. – Limite di una successione di numeri reali. – Teorema di unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. – Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri. – Teoremi sul limite della somma, del prodotto per una costante, del prodotto di due successioni, del quoziente. Forme indeterminate. 

-Successioni monotone. Esistenza del limite delle successioni monotone. Successioni limitate. Il numero e.

– Sottosuccessioni. Relazioni tra il limite di una successione e delle relative sottosuccessioni. Uso di sottosuccessioni per mostrare che un certo limite non esiste.

– Definizione di limite di una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni: teoremi sulla somma, il prodotto, il quoziente, teorema del confronto e dei carabinieri.

– Limiti notevoli di funzioni.

– Cambio di variabile nei limiti.

– Criterio che lega i limiti di funzioni ai limiti di successioni.

– Linguaggio degli infinitesimi. Definizione e principali propriet`a di o piccolo, O grande, equivalenza asintotica.

– Successioni per ricorrenza. Teorema delle contrazioni.

• Calcolo differenziale in una variabile.

– Funzioni continue in un punto ed in un insieme. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della composizione di funzioni continue.

– Definizione di massimo e minimo di una funzione su un insieme. Definizione di punto di massimo e punto di minimo (con enfasi sulla differenza tra massimo e punto di massimo).

– Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua su di un intervallo.

– Definizione di funzione derivabile in un punto. Definizione di funzione differenziabile in un punto. Equivalenza tra le due definizioni. Interpretazione geometrica del rapporto incrementale, della derivata e del differenziale.

– Teoremi algebrici sulle derivate: derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della composizione. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Legami tra continuità e derivabilità in un punto.

– Derivata della funzione inversa. Calcolo della derivata delle funzioni inverse elementari.

– Relazione tra il segno della derivata in un punto e la monotonia. Relazioni tra debole e stretta monotonia in un intervallo e segno della derivata prima nell’intervallo stesso.

– Teoremi sulle funzioni derivabili: Rolle, Cauchy, Lagrange.

– Teorema di de l’Hopital.

– Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange.

– Studio di funzione locale e globale, e relative applicazioni.

• Serie.

– Definizione di serie come limite delle somme parziali.

– Condizione necessaria per la convergenza di una serie.

– Serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche.

– Serie a termini positivi: criterio  del rapporto, del confronto, del confronto asintotico. Casi limite nel confronto asintotico.

– Criterio di Leibnitz (serie a segno alterno) e dell’assoluta convergenza (serie a segno qualunque). 

– Serie di Taylor di una qualsiasi funzione derivabile infinite volte in un punto. 

• Calcolo integrale in una variabile.

– Integrale di Riemann per funzioni di una variabile limitate su intervalli limitati. Significato geometrico. Partizioni di un intervallo, integrale inferiore e superiore.

– Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Proprietà dell’integrale.

– Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione continua. Utilizzo di una primitiva per il calcolo di integrali definiti. Primitive delle funzioni elementari.

– Formula di integrazione per parti. Formula di integrazione per sostituzione.

– Integrazione delle funzioni razionali. Sostituzioni razionalizzanti. Accenno all’interpretazione geometrica delle sostituzioni razionalizzanti.

– Integrali impropri: definizione nei due casi di dominio di integrazione non limitato oppure integranda non limitata.

– Criterio del confronto e del confronto asintotico per lo studio della convergenza di un integrale improprio con integranda a segno costante. Criterio dell’assoluta convergenza per lo studio della convergenza di un integrale improprio con integranda a segno variabile.

– Criterio del confronto serie integrali e sua giustificazione geometrica.

• Equazioni differenziali.

– Ordine di una equazione, equazioni in forma normale, equazioni autonome. Esempi di famiglie (dipendenti da parametri) di soluzioni di equazioni differenziali.

– Problema di Cauchy per una equazione di ordine 1. Teorema di esistenza e unicità. Intervallo massimale di esistenza, tempo di vita.

– Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.

– Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Metodo di variazione delle costanti.

– Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine omogenee.

– Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee. Metodo dei coefficienti indeterminati. 

– Studio qualitativo della soluzione