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Al termine della lezione extra dedicata agli esercizi sulla teoria spettrale, esaurite tutte le energie mie e dei presenti, rimase aperto il dilemma amletico: quando si applica l’algoritmo di Gauss-Sylvester si puo` o non si puo` ricopiare senza preoccupazioni la riga appena calcolata sulla colonna avente lo stesso indice?

La regola corretta, sempre valida, e` che occorre applicare subito alle colonne la stessa operazione appena applicata alle righe. L’azione combinata delle due operazioni preserva la simmetria della matrice.

In pratica, pero`, si nota subito che, almeno per l’operazione caratteristica dell’algoritmo di Gauss – sommare ad una riga un multiplo di quella contenente il pivot – l’effetto della replica sulle colonne dell’operazione appena effettuata sulle righe e` di ricopiare la riga appena calcolata sulla colonna di uguale indice, con un non trascurabile risparmio di calcoli, ridotti all’incirca alla meta`. Cio` dipende dal fatto che, per tali operazioni ordinarie, i termini della colonna del pivot diventano nulli e non alterano piu` il termine comune a riga e colonna durante la replica dell’operazione: quello diagonale.

Cio` non accade, invece, quando si somma alla prima riga (ad esempio) un altra per creare un pivot al posto di uno zero presente in prima posizione: in tal caso il termine non nullo viene sommato due volte al termine di riga 1 e colonna 1, e quindi alla fine risultera` il doppio di quello della riga appena calcolata.

Un ragionevole (e corretto) compromesso potrebbe essere quello di differenziare il proprio comportamento: utilizzare tranquillamente la tecnica abbreviata nelle operarioni ordinarie: permutazioni di righe e di colonne e sostituzione di una riga con la sua somma con un multiplo di quella pivot per annullarne un elemento sotto il pivot, ed utilizzare invece la regola generale nei casi rari in cui si somma alla riga che conterra` il pivot un’altra con elemento corrispondente NON NULLO (matrici con diagonale di soli zeri). Per degli esempi, che temo siano indispensabili per capirci qualcosa, potrete fare riferimento alla dispensa AL_1.1, pag. 52 e seguenti.

Spero che queste considerazioni (e gli esempi) possano contribuire a diradare la nebbia…
Non escludo una dispensina a breve…
Buon anno nuovo!

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E` disponibile qui, oltre che nella pagina dedicata, la nuova dispensa sul teorema di Grassmann per le applicazioni lineari ed altre questioni collegate.