Calcolo Numerico 2022/2023 (diario lezioni)

Lezione 01 (27/9): Introduzione; Numeri in virgola mobile e precisione finita: Esponente e frazione di un numero reale non zero: definizione.
Lezione 02 (28/9): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Esponente e frazione di un numero reale non zero: Esempi. Scrittura posizionale della frazione in base β: metodi per determinarla. Definizione dell'insieme F(β,m) dei numeri in virgola mobile, base β e precisione m. Esempio: L'insieme F(10,1). Proprietà dell'insieme F(β,m). Funzioni predecessore e successore (definizione). Teorema sulla distribuzione degli elementi di F(β,m).
Lezione 03 (29/9): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Funzioni predecessore e successore: Esempi di calcolo. Definizione degli insiemi di numeri in virgola mobile con esponente limitato e con elementi denormalizzati. Esercizi. L'insieme M: Esempi significativi. Cosa è lo IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE Std 754-2019). Uso degli elementi di M. Funzione arrotondamento (definizione). Esempi di calcolo, Elementi di M adiacenti ad un numero reale.
Lezione 04 (4/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Funzione arrotondamento: proprietà. Funzioni errore: Definizione e Teorema sulla stima in F(β,m). Precisione di macchina. Esempi. Teorema su arrotondamento e perturbazioni.
Lezione 05 (5/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Funzioni predefinite: definizone e proprietà. Trasformazione di una procedura che usa il tipo numero reale in una che usa il tipo numero in virgola mobile e precisione finita. Esempio. Definizione di algoritmo e di algoritmo accurato.
Lezione 06 (6/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Valutazione dell'errore conseguente alla trasformazione. Esempio. Definizione di algoritmo stabile. Definizione di calcolo ben condizionato del valore di una funzione in un punto. Teorema: algoritmo stabile e calcolo ben condizionato ⇒ algoritmo accurato. Stabilità delle funzioni predefinite. Condizionamento delle funzioni regolari, numero di condizionamento. Condizionamento delle operazioni aritmetiche. Algoritmi non stabili.
Lezione 07 (11/10): Zeri di funzioni: Metodo di bisezione: descrizione e discussione con tipo numero reale: criteri d'arresto di tipo assoluto; criterio d'arresto di tipo relativo.
Lezione 08 (12/10): Zeri di funzioni: Metodo di bisezione: Discussione con tipo numero in virgola mobile e precisione finita: Stabilità dell'algoritmo di bisezione, efficacia del criterio d'arresto.
Esercitazione 1 (13/10): Scilab: Introduzione; Istruzioni number_properties, log2 e nearfloat: esempi; visualizzazione del valore di una variabile. Ciclo for e costrutto if: procedura per la scrittura di un numero in virgola mobile nella forma ± 2^b 0.c₁,...,c₅₃. Vettori e matrici, operatori con punto prefisso. Grafico di una funzione: istruzione plot.
Lezione 09 (18/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: descrizione con tipo numero reale: motivazione. Teorema di convergenza. Criterio di scelta del punto iniziale. Esempio.
Lezione 10 (19/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Utilizzabilità di un metodo ad un punto. Ordine di convergenza di un metodo.
Lezione 11 (20/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Studio grafico di un metodo. Metodo di Newton: descrizione con tipo numero reale; utilizzabilità e ordine di convergenza. Costruzione grafica della successione. Criterio di scelta del punto iniziale. Esercizio.
Lezione 12 (25/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Criteri d'arresto. Criteri di tipo assoluto: |x_k+1 - x_k| < δ e |f(x_k)| < δ. Criteri di tipo relativo: | (x_k+1 - x_k) / x_k| < ε e |f(x_k) / x_k| < ε. Esercizio.
Lezione 13 (26/10): Zeri di funzioni: Condizionamento del calcolo di uno zero di una funzione e del calcolo di un punto unito di una funzione. Esempio. Metodi ad un punto: Discussione con tipo numero in virgola mobile e precisione finita, Teorema di stabilità; efficacia del criterio d'arresto.
Esercitazione 2 (27/10): Esercizio. Scilab: Come definire una funzione (costrutto function); Come disegnare il grafico di una funzione di una variabile (istruzione plot); Come cancellare il contenuto di una finestra grafica (istruzione clf); Come disegnare il grafico di due funzioni sullo stesso piano cartesiano. La struttura ad albero dell'oggetto figure e suo uso per modificare le proprietà di una figura. File creato in classe per l'analisi dell'esercizio iniziale.
Lezione 14 (2/11): Sistemi di Equazioni: Richiami di Algebra Lineare. Casi semplici: matrice diagonale, triangolare (superiore o inferiore), ortogonale, di permutazione. Osservazioni sul prodotto di due matrici: calcolo per righe, per colonne, come somma di prodotti colonna x riga.
Lezione 15 (3/11): Sistemi di Equazioni: Caso generale. Fattorizzazioni LR, LR con Pivoting e QR: definizione. La notazione di Scilab per le sottomatrici. Procedura per la ricerca di una fattorizzazione LR di una martice assegnata.
Prova in itinere (8/11)
Lezione 16 (9/11): Sistemi di Equazioni: Procedura LRP per la ricerca di una fattorizzazione LR con pivoting di una matrice assegnata. Uso della fattorizzazione LR con pivoting: dalcolo del determinante, soluzione di un sistemacon matrice invertibile, calcolo dell'inversa.
Lezione 17 (10/11): Sistemi di Equazioni: Spazi normati: norme uno, due e infinito in Rⁿ; distanza tra vettori, intorni sferici. Norma indotta di una matrice: definizione e proprietà, formule di calcolo per norma uno, due e infinito. La norma indotta è una norma nello spazio vettoriale delle matrici.
Lezione 18 (15/11): Sistemi di Equazioni: Spazi normati: metodo alternativo per definire una norma in R^{n × n}. Condizionamento: definizione di perturbazione dei dati, scostamento della soluzione e loro misure relative. Teorema di condizionamento con δA = 0; numero di condizionamento di una matrice. Teorema di condizionamento con δA ≠ 0 e δb ≠ 0. Esempi di uso dei due Teoremi: interpretazione di un vettore assegnato come soluzione di un sistema perturbato.
Lezione 19 (16/11): Sistemi di Equazioni: Teorema di condizionamento: Esempio numerico di uso. Procedura che usa una fattorizzazione LR con pivoting per risolvere un sistema di equazioni lineari: Discussione dell'uso del calcolatore: Stabilità dell'algoritmo SI; inadeguatezza della procedura LRP.
Lezione 20 (17/11): Sistemi di Equazioni: Procedura LRPP. Esercitazione 3: Scilab: istruzioni lu, cond, norm, inv, spec, det; Come disegnare lo spettro di una matrice sul piano di Gauss. Uso della funzione printf per mostrare la scrittura posizionale in base dieci di un elemento di F(2,53). Esercizio: una function che calcola la norma due di una matrice quadrata.
Lezione 21 (22/11): Sistemi di equazioni: Calcolo della fattorizzazione QR: procedura GS. Esempio. Unicità della fattorizzazione, metodo di Householder (procedura qr), esistenza della fattorizzazione. Procedura che usa una fattorizzazione QR per risolvere un sistema di equazioni lineari: Discussione dell'uso del calcolatore. Costo: definizione di costo aritmetico e sua ragionevolezza.
Lezione 22 (23/11): Sistemi di Equazioni: Costo dei procedimenti di ricerca della soluzione di un sistema di equazioni con fattorizzazione LR e QR. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Definizione di Soluzione di un sistema di equazioni lineari nel senso dei minimi quadrati; Esempi di problemi riconducibili al calcolo della soluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati: punto stazionario di un sistema di punti privi di massa collegati con molle ideali; ricerca della funzione che meglio approssima dati assegnati nel senso dei minimi quadrati. Calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Richiami sulla nozione di ortogonalità.
Lezione 23 (24/11): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Relazione tra l'insieme delle soluzioni di Ax = b nel senso dei minimi quadrati e quello delle soluzioni delle equazioni normali A^TAx = A^Tb. Esempi. Esistenza di soluzioni nel senso dei minimi quadrati. Proprietà della matrice A^TA. Legame tra soluzione nel senso dei minimi quadrati e proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio: interpretazione geometrica della soluzione nel senso dei minimi quadrati. Pseudoinversa di una matrice A (A⁺).
Lezione 24 (30/11): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Esempio di calcolo della matrice pseudoinversa di una matrice a colonne linearmente dipendenti. Calcolo delle soluzioni nel senso dei minimi quadrati con il calcolatore: Fattorizzazione QR, caso rettangolare: definizione e funzione predefinita qr. Uso della fattorizzazione QR; condizionamento non buono delle equazioni normali.
Lezione 25 (1/12): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Applicazioni del calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Funzione che meglio approssima dati assegnati nel senso dei minimi quadrati. Esempi. Interpolazione: Problema dell'interpolazione polinomiale: Interpretazione geometrica e riformulazione. Teorema di esistenza ed unicità, forma di Lagrange del polinomio interpolante.
Lezione 26 (6/12): Interpolazione: Problema dell'interpolazione polinomiale: Forme di Vandermonde e Newton del polinomio interpolante. Riordinamento dei dati. Problema lineare di interpolazione: definizione. Interpolazione di Hermite: Teorema di esistenza ed unicità. (Questa lezione è stata erogata a distanza. Testo, registrazioni: parte 1/2, parte 2/2.)
Esercitazione 4 (7/12): Scilab: Precisazioni sull'istruzione qr: la modalità economy size. Il tipo di dato polinomio: le istruzioni poly e horner. Il tipo funzione razionale: il flag simp_mode. (Questa esercitazione è stata erogata a distanza.)
Lezione 27 (7/12): Interpolazione: Campionamento e ricostruzione: Definizione di funzione di campionamento. Definizione di funzione di ricostruzione. Ricostruzione con interpolazione polinomiale. Definizione di errore di ricostruzione. Il problema del campionamento e ricostruzione; Studio dell'errore di ricostruzione con interpolazione polinomiale. Teorema ed Esempi. Criterio di scelta degli istanti di campionamento. Ricostruzione con interpolazione polinomiale per funzioni poco regolari. Condizionamento della ricostruzione con interpolazione polinomiale. (Questa lezione è stata erogata a distanza. Registrazioni su Teams.)
Lezione 28 (13/12): Interpolazione: Campionamento e ricostruzione: Lo spazio vettoriale delle funzioni continue e lineari a tratti (funzioni C-LAT). Teorema di esistenza ed unicità della funzione C-LAT che interpola dati assegnati. Dimensione dello spazio vettoriale delle funzioni C-LAT. Ricostruzione con funzioni C-LAT: definizione. Studio dell'errore di ricostruzione con funzioni C-LAT. Teorema ed Esempi. Condizionamento della funzione di ricostruzione con funzioni C-LAT.
Esercitazione 5 (14/12): Scilab: Applicazione del tipo di dato funzione razionale: Disegno del diagramma di Bode di una funzione di trasferimento: istruzioni logspace, subplot; uso della funzione atan per determinare l'argomento di un numero complesso, istruzioni imag e real.
Lezione 29 (14/12): Applicazioni del campionamento e ricostruzione con funzioni C-LAT: Approssimazione del grafico di una funzione; approssimazione dell'integrale definito di una funzione (formula dei trapezi). Esercizio su migliore approssimazione di dati assegnati nel senso dei minimi quadrati, con funzioni C-LAT.
Lezione 30 (15/12): Esercizi di riepilogo.

Calcolo Numerico, a.a. 2022/2023

Ingegneria Elettronica