Serie parametriche 3

[Giorgio]

mi servirebbe un aiuto per una delle serie parametriche 3...
il testo dell'esercizio è questo

(1/sqrt(n))-arctan(1/(n^alfa))

non capisco quando posso considerarla una serie a termini positivi e quando no. Qualcuno di voi si è posto il mio problema?

[g.masullo]

Ciao.. Allora provo a darti una risposta sperando di non dire cavolate.

Bisogna vedere ovviamente quando l'arctg > 1/sqrt(n)

Quindi arctg(1/n^a)>1/sqrt(n)
-> arctg(1/n^a)-1/sqrt(n)>0

Ora. 1/sqrt(n) è sempre > 0 per n>0

L'arctg è positiva quando?
da 0 a pi/2

quindi 1/sqrt(n) deve essere massimo pi/2
e
0<=arctg(1/n^a)<=pi/2

Ecco.. Ora che ho scritto le prime cose che mi sono venute in mente spero che qualcuno mi corregga in quanto penso che non siano "molto" corrette

[Giorgio]

Ehi ciao... grazie della risposta
Secondo me il ragionamento che hai fatto è giusto, ma solo nel caso degli alfa negativi. Infatti in quel caso (1/sqrt(n)) tende a 0 e l'arcotangente tende a (pi/2)... quindi definitivamente

arcotangente-(1/sqrt(n))<0

... quindi nel complesso la serie non è a termini positivi ma basta che metto un meno in evidenza e la faccio diventare io.

Nel caso degli alfa positivi mi è venuta una idea stamattina a mente più fresca e riposata

usando Taylor ho che l'argomento della serie è circa (1/sqrt(n))-(1/(n^alfa))
quindi a questo punto è chiaro che la serie è definitivamente a termini positivi per alfa>1/2 e viceversa a termini negativi per 0<alfa<1/2

spero che il ragionamento sia giusto... a domani

[g.masullo]

Uhm Penso proprio che il ragionamento sia questo

A domani ! (Sei il giorgio che conosco io? O.o)

[Giorgio]

eh si, credo proprio di sì...
comunque la serie mi è riuscita
per gli alfa negativi non c'era nemmeno bisogno di sapere se i termini della serie erano positivi o no tanto non c'era la condizione necessaria

PS: domani mensa?

[g.masullo]

giusto!!

Comunque.. PS: Domani ci sta prima informatica.. si va dal Lami e poi credo mensa..

[Massimo Gobbino]

@Giorgio: sostanzialmente corretto. Talvolta è proprio Taylor che dice se una certa cosa è positiva o negativa per n grandi. Ovviamente la cosa andrebbe giustificata rigorosamente, ma brutalmente si procede proprio in quel modo.

[catarsiaffa]

Come mai la soluzione è soltanto alpha=1/2? E' per il fatto che è l'unico valore che soddisfa la condizione necessaria?

[Massimo Gobbino]

[catarsiaffa]