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Una cosa che è venuta fuori spesso negli ultimi ricevimenti è quella dell’inclusione di sottospazi. Un criterio semplicissimo perche’ lo span di u_1,u_2,..,u_n sia incluso in un sottospazio X è che ognuno dei vettori u_i lo sia. Infatti ogni elemento dello span è combinazione dei vettori u_i e, provato che ognuno di essi sta in X, anche ogni loro combinazione ci sta; è la definizione di sottospazio, un po’ “rinforzata”: se gli u_i stanno in X, ci stanno pure i loro multipli, e se ci stanno i multipli ci stanno anche le loro somme finite, che si ottengono sommando (due per volta, e quindi senza uscire mai dallo spazio X) il risultato dell’operazione precedente al nuovo multiplo da sommare. Mi rifiuto di scriverci su una dispensa: chi ha bisogno venga al ricevimento e se ne può parlare fino all’esaurimento….
L’appartenenza dei singoli u_i ad X, poi, si determina risolvendo il sistema avente i generatori di X per colonne ed i vettori u_i come termini noti: se è sempre risolubile, gli u_i appartengono tutti ad X; se per qualche termine noto u_i è impossibile, allora no.
Ricordo a tutti che è sostanzialmente lo stesso sistema da risolvere per l’intersezione: nel caso nessuno dei due spazi sia contenuto nell’altro, si può risolvere lo stesso sistema, considerato come sistema omogeneo avente per colonne tutti i generatori di X e tutti gli u_i, per ottenere i coefficienti da attribuire ai generatori (gli uni o gli altri) per ottenere i vettori dell’intersezione degli spazi.

Ho ulteriormente modificato la dimostrazione della condizione necessaria e sufficiente sulla diagonalizzabilità riguardante la molteplicità geometrica degli autovalori. Mi sono infatti accorto che quella presentata dava per immediato un fatto che non lo era poi tanto…
Troverete nella pagina delle dispense nuove la dispensa (MOLTEPLICITA’-AUTOSPAZI.pdf) ulteriormente corretta, oltre ad un’altra breve, fuori programma, sulla somma diretta di più spazi, utile per capire la dimostrazione presentata. Ad evitare “incidenti” resta in programma solo l’enunciato della condizione (diagonalizzabilità = uguaglianza delle due molteplicità) mentre le dimostrazioni sono facoltative.

L’errore oggetto del messaggio precedente è stato corretto: la dispensa ora disponibile per il download va bene.

La parte della dispensa sulla molteplicità degli autovalori che vi interessa meno (la condizione necessaria della condizione di diagonalizzabilità) contiene un errore.
Pubblicherò al più presto la correzione, ma ricordo a tutti che la prova di tale condizione non fa parte del programma.

E’ on-line la nuova brevissima dispensa sulla definizione di sistemi scala, sempre nella pagina delle dispense nuove.

Ecco la dispensa in tre parti, concepite per essere lette in sequenza, sulla teoria dei campi vettoriali e delle forme differenziali lineari.

La dispensa sul teorema di Grassmann sui sottospazi, nell’equazione (**) a pag.4, contiene un errore sull’indice superiore della sommatoria, indicato erroneamente come n, che è invece k ( w = sommatoria per i che va da 1 a k di alfa’_i w_i ).
La versione ora scaricabile è stata corretta.
Ringrazio il vostro collega che me l’ha segnalato.