Calcolo Numerico 2024/2025

Lezione 01 (24/9): Introduzione; Numeri in virgola mobile e precisione finita: Esponente e frazione di un numero reale non zero: definizione. (Dall'inizio a Es. 0.1.2)
Lezione 02 (25/9): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Scrittura posizionale della frazione in base β: metodi per determinarla. Definizione dell'insieme F(β,m) dei numeri in virgola mobile, base β e precisione m. Esempi di insieme F(β,m): L'insieme F(10,1). Proprietà dell'insieme F(β,m). (Da Oss. 0.1.3 a Oss. 0.1.10)
Lezione 03 (26/9): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Funzioni predecessore e successore: definizione ed sempi. Teorema sulla distribuzione degli elementi di F(β,m). Definizione dell'insieme dei numeri in virgola mobile con esponente limitato F(β,m,b_min,b_max). Definizione dell'insieme dei numeri in virgola mobile con esponente limitato ed elementi denormalizzati F_d(β,m,b_min,b_max). Esempi. L'insieme M: Esempi significativi. Funzione arrotondamento: Elementi di M adiacenti ad un numero reale. Definizione di funzione arrotondamento. (Da Def. 0.1.11 a Def. 0.2.3)
Lezione 04 (1/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Funzione arrotondamento: Esempi. (Es. 0.2.4) Esercitazione 1: Scilab: Introduzione; Istruzioni number_properties, log2 e nearfloat: esempi; visualizzazione del valore di una variabile. Ciclo for, istruzioni string, int e length; procedura di calcolo della scrittura posizionale in base due della frazione di un numero di macchina.
Lezione 05 (2/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Funzione arrotondamento: proprietà. Funzioni errore: Definizione e Teorema sulla stima in F(β,m). Precisione di macchina. Confronto tra insiemi con base diversa. Teorema su arrotondamento e perturbazioni. Funzioni predefinite: definizione. (Da Oss. 0.2.5 a Def. 0.3.1)
Lezione 06 (3/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Funzioni predefinite: proprietà. Trasformazione di una procedura che usa il tipo numero reale in una che usa il tipo numero in virgola mobile e precisione finita: Esempi. Definizione di algoritmo. Studio dell'errore nelle procedure elementari, prima parte: assegnamento con funzione elementare. Definizione di algoritmo accurato. (Da Es. 0.3.2 a Oss. 0.4.3)
Lezione 07 (8/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Studio dell'errore nelle procedure elementari, seconda parte: Definizione di algoritmo stabile e di calcolo ben condizionato del valore di una funzione in un punto. Teorema: algoritmo stabile e calcolo ben condizionato ⇒ algoritmo accurato. Stabilità delle funzioni predefinite corrispondenti a funzioni elementari e ad operazioni aritmetiche. Condizionamento delle funzioni regolari, numero di condizionamento; Condizionamento delle operazioni aritmetiche. (Da Def. 0.4.5 a Oss. 0.4.14)
Lezione 08 (9/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Algoritmi non stabili. Zeri di funzioni: Metodo di bisezione: descrizione e discussione con tipo numero reale: criterio d'arresto di tipo assoluto, proprietà dei criteri di arresto. (Da Oss. 0.4.15 a Oss. 1.1.4)
Lezione 09 (10/10): Zeri di funzioni: Metodo di bisezione: esempi di criteri d'arresto che non verificano le proprietà criterio d'arresto di tipo relativo. Discussione con tipo numero in virgola mobile e precisione finita: Stabilità e accuratezza dell'algoritmo di bisezione, efficacia del criterio d'arresto (Da Es. 1.1.5 a Oss 1.2.4)
Esercitazione 2 (15/10): Scilab: Matrici ed estensione banale alle matrici di una funzione predefinita; operatori con punto prefisso (.op); Come definire una funzione (costrutto function), l'editor Scinotes; Come disegnare il grafico di una funzione di una variabile (istruzioni plot, linspace); Come cancellare il contenuto di una finestra grafica (istruzione clf); La struttura ad albero dell'oggetto figure e suo uso per modificare le proprietà di una figura. Come disegnare il grafico di due funzioni sullo stesso piano cartesiano, istruzione legend.
Lezione 10 (16/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: descrizione con tipo numero reale: motivazione. Teorema di convergenza. Criterio di scelta del punto iniziale. (Sezione 1.3 fino a Oss. 1.3.4)
Lezione 11 (17/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Esempio. Utilizzabilità di un metodo ad un punto. Criterio della derivata per limitare il numero di zeri di una funzione. (Da Es. 1.3.5 a: Oss. 1.3.6.)
Lezione 12 (22/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Ordine di convergenza di un metodo. Studio grafico di un metodo. Metodo di Newton: descrizione con tipo numero reale; utilizzabilità e ordine di convergenza. Costruzione grafica della successione. Criterio di scelta del punto iniziale. (Da: Def. 1.3.7 a: Oss. 1.4.4.)
Lezione 13 (23/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Criteri d'arresto. Criteri di tipo assoluto: |x_k+1 - x_k| < δ, |s(x_k)| < δ e |f(x_k) / f'(x_k)| < δ. Discussione con tipo numero in virgola mobile e precisione finita, Teorema di stabilità; efficacia del criterio d'arresto. Condizionamento degli zeri di una funzione; Esempi. (Da: Sezione 1.5 a: Sezione 1.7)
Lezione 14 (24/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Condizionamento degli zeri di una funzione: Caso di funzione dipendente da un parametro; Esempio. Condizionamento dei punti uniti di una funzione. Sistemi di Equazioni: Richiami di Algebra Lineare. Casi semplici: matrice diagonale, triangolare superiore e inferiore (procedure SI ed SA), ortogonale. (Capitolo 2: Sezione 2.1)
Esercitazione 3 (29/10): Scilab: Esempio di problema mal condizionato per il calcolo dello zero di una funzione: metodo di bisezione e metodo di Newton. I comandi poly e horner.
Lezione 15 (30/10): Sistemi di Equazioni: Casi semplici: matrice di permutazione. Caso generale. Fattorizzazioni LR, LR con Pivoting e QR: definizione. Procedura per la ricerca di una fattorizzazione LR con Pivoting di una martice assegnata: Procedura EGP. Matrici elementari di Gauss. (Da: Sezione 2.1 a Es. 2.3.2.)
Lezione 16 (31/10): Lezione non tenuta per sciopero del personale.
Lezione 17 (5/11): Sistemi di Equazioni: Procedura EGP: Come determinare P_k e H_k: esempi. Teorema di esistenza della fattorizzazione LR con pivoting. Uso della fattorizzazione LR con pivoting: calcolo del determinante, soluzione di un sistema con matrice invertibile, calcolo dell'inversa. (Da Es. 2.3.3 a Es. 2.3.5.)
Lezione 18 (6/11): Sistemi di Equazioni: Spazi normati: definizione, norme uno, due e infinito in Rⁿ; distanza tra vettori, intorni sferici. Norma indotta di una matrice: definizione e proprietà, formule di calcolo per norma uno, due e infinito. (Sez. 2.4 fino a Oss. 2.4.10.)
Lezione 19 (7/11): Sistemi di Equazioni: Spazi normati: Norma indotta di una matrice: Proprietà. La norma indotta è una norma nello spazio vettoriale delle matrici. Esempi di norme non indotte nello spazio vettoriale delle matrici. Condizionamento: definizione di perturbazione dei dati, scostamento della soluzione e loro misure relative. Teorema di condizionamento con δA = 0; numero di condizionamento di una matrice. Teorema di condizionamento con δb = 0; Teorema di condizionamento con δA ≠ 0 e δb ≠ 0. Osservazioni sui teoremi di condizionamento. (Da: Oss. 2.4.11 a: Oss. 2.5.6.)
Esercitazione 4 (12/11): Scilab: Realizzazione delle procedure SA ed SI; Esempio di applicazione del procedimento di soluzione di un sistema di equazioni lineari: realizzazione di un semplice simulatore di circuiti lineari di soli resistori e generatori indipendenti di corrente. Il comando size e le liste in Scilab.
Lezione 20 (13/11): Sistemi di Equazioni: Condizionamento: Esempio di problema mal condizionato con interpretazione geometrica. Esempi di uso dei Teoremi di condizionamento: interpretazione di un vettore assegnato come soluzione di un sistema perturbato. Esempio numerico. Procedura che usa una fattorizzazione LR con pivoting per risolvere un sistema di equazioni lineari: Discussione dell'uso del calcolatore. Stabilità dell'algoritmo SI. (Da: Oss. 2.5.7 a: Oss. 2.6.1.)
Lezione 21 (14/11): Sistemi di equazioni: inadeguatezza della procedura EGP. Procedura EGPP. Calcolo della fattorizzazione QR: procedura GS. Unicità della fattorizzazione QR, metodo di Householder (procedura qr), esistenza della fattorizzazione. Procedura che usa una fattorizzazione QR per risolvere un sistema di equazioni lineari: Discussione dell'uso del calcolatore. (Da: Oss. 2.6.2 a: Oss. 2.7.3.)
Lezione 22 (19/11): Sistemi di Equazioni: Costo: definizione di costo aritmetico e sua ragionevolezza. Costo dei procedimenti di ricerca della soluzione di un sistema di equazioni con fattorizzazione LR e QR. Interpolazione: Problema dell'interpolazione polinomiale: Interpretazione geometrica e riformulazione. Teorema di esistenza ed unicità (enunciato). (Da: Sez. 2.8 a: Teo. 3.1.2.)
Lezione 23 (20/11): Interpolazione: Problema dell'interpolazione polinomiale: Teorema di esistenza ed unicità (dimostrazione), forma di Lagrange del polinomio interpolante. Forme di Vandermonde e Newton del polinomio interpolante. Metodo di Horner per calcolare il valore di un polinomio in un punto. Problema lineare di interpolazione: definizione, esempi. (Da: Teo. 3.1.2 a: Es. 3.2.1.)
Lezione 24 (21/11): Interpolazione: Problema lineare di interpolazione: riformulazione ed esempio. Campionamento e ricostruzione: Definizione di funzione di campionamento. Definizione di funzione di ricostruzione. Ricostruzione con interpolazione polinomiale. Definizione di errore di ricostruzione. Il problema del campionamento e ricostruzione; Studio dell'errore di ricostruzione con interpolazione polinomiale. Teorema ed Esempi. (Da: Oss. 3.2.2 a: Es. 3.3.4.)
Lezione 25 (26/11): Interpolazione: Campionamento e ricostruzione: Criterio di scelta degli istanti di campionamento. Ricostruzione con interpolazione polinomiale per funzioni poco regolari. Condizionamento della ricostruzione con interpolazione polinomiale. Lo spazio vettoriale delle funzioni continue e lineari a tratti (funzioni C-LAT). Teorema di esistenza ed unicità della funzione C-LAT che interpola dati assegnati. Dimensione dello spazio vettoriale delle funzioni C-LAT. Ricostruzione con funzioni C-LAT: definizione. (Da: Es. 3.3.5 a: Oss. 3.3.11.)
Lezione 26 (27/11): Interpolazione: Campionamento e ricostruzione: Studio dell'errore di ricostruzione con funzioni C-LAT. Teorema ed Esempi. Condizionamento della ricostruzione con funzioni C-LAT. Applicazioni del campionamento e ricostruzione con funzioni C-LAT: Approssimazione del grafico di una funzione; approssimazione dell'integrale definito di una funzione (formula dei trapezi); calcolo approssimato del valore di una funzione elementare. (Da: Teo. 3.3.12 a: Oss. 3.3.15.)
Lezione 27 (28/11): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Definizione di Soluzione di un sistema di equazioni lineari nel senso dei minimi quadrati; Definizione di funzione che meglio approssima dati assegnati nel senso dei minimi quadrati. Calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Richiami sulla nozione di ortogonalità. Calcolo della migliore approssimazione in spazi con prodotto scalare. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio: esistenza e calcolo. Esistenza ed unicità della migliore approssimazione. Esempi. (Da: Def. 4.0.1 a: Es. 4.1.5.)
Esercitazione 5 (3/12): Scilab: i numeri complessi. Realizzazione di un semplice simulatore per l'analisi fasoriale di circuiti lineari di soli resistori, induttori, condensatori e generatori indipendenti di corrente (circuiti RLCJ). La funzione predefinita atan. Grafico del modulo della risposta in frequenza di un circuito RLCJ.
Lezione 28 (4/12): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Calcolo delle soluzioni di un sistemanel senso dei minimi quadrati: relazione tra le soluzioni di Ax = b nel senso dei minimi quadrati e le soluzioni di A^TAx = A^Tb. Proprietà della matrice A^TA. Pseudoinversa di una matrice A (A⁺). Esempio di calcolo della matrice pseudoinversa di una matrice a colonne linearmente dipendenti. Calcolo delle soluzioni nel senso dei minimi quadrati con il calcolatore: Fattorizzazione QR, caso rettangolare: definizione e funzione predefinita qr. Uso della fattorizzazione QR; condizionamento non buono delle equazioni normali. (Da: Teo. 4.2.1 a: Es. 4.2.4.)
Lezione 29 (5/12): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: i comandi backslash e pinv di Scilab. Calcolo della funzione che meglio approssima dati assegnati nel senso dei minimi quadrati: Riformulazione e soluzione; il caso dello scarto quadratico con pesi. (Da Oss. 4.2.5 alla fine del Paragrafo 4.3.)
Lezione 30 (10/12): Metodi numerici per equazioni differenziali: Osservazioni ed ipotesi introduttive; definizioni iniziali: metodo numerico a passo variabile, errore totale, convergenza, errore locale; relazione tra errore totale e locale. (Da: Es. 0.0.1 a: Oss. 0.0.8.)
Lezione 31 (11/12): Metodi numerici per equazioni differenziali: Metodo di Eulero esplicito: Ipotesi di regolarità, definizione e discussione; primo Teorema di convergenza. (Da: Ip. 1.0.1 a: Dim. 1.0.6.)
Lezione 32 (12/12): Metodi numerici per equazioni differenziali: Metodo di Eulero esplicito: Esempi; secondo Teorema di convergenza. Realizzazione in Scilab; esempio di simulazione: il moto di un pendolo. (Da: Oss. 1.0.7 alla fine.)

Calcolo Numerico, a.a. 2024/2025

Ingegneria Elettronica