Calcolo Numerico, a.a. 2023/2024
Ingegneria Elettronica
didattica
...diario delle lezioni...
- Lezione 01 (26/9): Introduzione; Numeri in virgola mobile e precisione finita: Esponente e frazione di un numero
reale non zero: definizione. Scrittura posizionale della frazione in base β: metodi per determinarla. Definizione dell'insieme F(β,m) dei
numeri in virgola mobile, base β e precisione m. (Dall'inizio a Def. 0.1.7)
- Lezione 02 (27/9): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Esempi di insieme F(β,m): L'insieme F(10,1).
Proprietà dell'insieme F(β,m). Funzioni predecessore e successore: definizione ed sempi. Teorema sulla distribuzione degli elementi di
F(β,m). Definizione dell'insieme dei numeri in virgola mobile con esponente limitato F(β,m,bmin,bmax).
(Da Es. 0.1.8 a Def. 0.1.14)
- Lezione 03 (28/9): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Definizione dell'insieme dei numeri in virgola mobile con esponente limitato ed
elementi denormalizzati Fd(β,m,bmin,bmax). Esempi. L'insieme M: Esempi significativi. Esercizi. Funzione arrotondamento:
Elementi di M adiacenti ad un numero reale. (Da Def. 0.1.14 a Def. 0.2.1)
- Lezione 04 (3/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Funzione arrotondamento: Definizione e proprietà. Funzioni errore:
Definizione e Teorema sulla stima in F(β,m). Precisione di macchina. (Da Es. 0.2.2 a Def. 0.2.10)
- Lezione 05 (4/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Numeri di macchina: Confronto tra insiemi con base diversa. Teorema su
arrotondamento e perturbazioni. Funzioni predefinite: definizione e proprietà. (Da Es. 0.2.11 a Es. 0.3.2)
- Lezione 06 (5/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Trasformazione di una procedura che usa il tipo numero reale in una
che usa il tipo numero in virgola mobile e precisione finita. Studio dell'errore nelle procedure elementari, prima parte: assegnamento con funzione elementare.
Definizione di algoritmo, di algoritmo stabile e di algoritmo accurato. Definizione di calcolo ben condizionato del valore di una funzione in un punto. Teorema: algoritmo
stabile e calcolo ben condizionato ⇒ algoritmo accurato. Stabilità delle funzioni predefinite corrispondenti a funzioni elementari. Condizionamento delle funzioni
regolari, numero di condizionamento (Sezione 0.4).
- Lezione 07 (10/10): Studio dell'errore nelle procedure elementari, seconda parte: assegnamento con operazione aritmetica. Stabilità
delle funzioni predefinite corrispondenti a operazioni aritmetiche. Condizionamento delle operazioni aritmetiche. Diagrammi per lo studio del condizionamento e della stabilità
Algoritmi non stabili. (Sezione 0.4)
- Lezione 08 (11/10): Esercizio sull'uso dei diagrammi per lo studio della stabilità. Zeri di funzioni: Metodo di bisezione: descrizione e
discussione con tipo numero reale: criteri d'arresto di tipo assoluto. (Capitolo 1 fino a Es. 1.1.5)
- Lezione 09 (12/10): Metodo di bisezione: criterio d'arresto di tipo relativo. Discussione con tipo numero in virgola mobile e precisione finita:
Stabilità dell'algoritmo di bisezione, efficacia del criterio d'arresto, accuratezza dell'algoritmo di bisezione. Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: descrizione con tipo
numero reale: motivazione. Teorema di convergenza (enunciato). (Da Es. 1.1.6 a Teo 1.3.3)
- Lezione 10 (17/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Teorema di convergenza (dimostrazione). Criterio di scelta del punto iniziale. Esempio.
(Da Teo. 1.3.3 a Es. 1.3.5)
- Lezione 11 (18/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Utilizzabilità di un metodo ad un punto. Criterio della derivata per limitare il numero
di zeri di una funzione. Ordine di convergenza di un metodo. Studio grafico di un metodo (prima parte). (Da Es. 1.3.5 a: Oss.1.3.10.)
- Lezione 12 (19/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Studio grafico di un metodo (seconda parte). Metodo di Newton: descrizione con tipo
numero reale; utilizzabilità e ordine di convergenza. Costruzione grafica della successione. Criterio di scelta del punto iniziale. Esercizio.
(Da: Oss. 1.3.10 a: Es. 1.4.5.)
- Lezione 13 (23/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Criteri d'arresto. Criteri di tipo assoluto:
|xk+1 - xk| < δ, |f(xk)| < δ e |f(xk) / f'(xk)| < δ.
(Sezione 1.5)
- Lezione 14 (24/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Condizionamento degli zeri di una funzione; Esempi. Caso di funzione dipendente
da un parametro; Esempio. Condizionamento dei punti uniti di una funzione. (Sezione 1.6)
- Lezione 15 (26/10): Metodi ad un punto: Discussione con tipo numero in virgola mobile e precisione finita, Teorema di stabilità;
efficacia del criterio d'arresto. Sistemi di Equazioni: Richiami di Algebra Lineare. Casi semplici: matrice diagonale, triangolare superiore e inferiore (procedure SI ed SA),
ortogonale. (Sezione 1.7. Capitolo 2: Sezione 2.1)
- Lezione 16 (31/10): Sistemi di Equazioni: Casi semplici: matrice di permutazione. Caso generale. Fattorizzazioni LR, LR con Pivoting e QR:
definizione. Procedura per la ricerca di una fattorizzazione LR con Pivoting di una martice assegnata: Procedura EGP. Matrici elementari di Gauss. (Da: Sezione 2.1 a Es. 2.3.2.)
- Lezione 17 (2/11): Sistemi di Equazioni: Procedura EGP: Come determinare Pk e Hk: esempi. Uso della
fattorizzazione LR con pivoting: calcolo del determinante, soluzione di un sistema con matrice invertibile, calcolo dell'inversa. (Da Es. 2.3.3 a Es. 2.3.5.)
- Lezione 18 (7/11): Sistemi di Equazioni: Spazi normati: definizione, norme uno, due e infinito in Rn;
distanza tra vettori, intorni sferici. Norma indotta di una matrice: definizione e proprietà, formule di calcolo per norma uno, due e infinito.
(Sez. 2.4 fino a Oss. 2.4.10.)
- Lezione 19 (8/11): Sistemi di Equazioni: Spazi normati: Norma indotta di una matrice: La norma indotta è una norma nello spazio vettoriale
delle matrici. Condizionamento: definizione di perturbazione dei dati, scostamento della soluzione e loro misure relative. Teorema di condizionamento con δA = 0;
numero di condizionamento di una matrice. Teorema di condizionamento con δb = 0; Teorema di condizionamento con δA ≠ 0 e δb ≠ 0.
Esempio sulla misura relativa delle componenti dello scostamento della soluzione. (Da: Oss. 2.4.11 a: Oss. 2.5.6.)
- Lezione 20 (9/11): Sistemi di Equazioni: Condizionamento: Esempio di problema mal condizionato con interpretazione geometrica. Esempi di uso dei
Teoremi di condizionamento: interpretazione di un vettore assegnato come soluzione di un sistema perturbato. Esempio numerico. Procedura che usa una
fattorizzazione LR con pivoting per risolvere un sistema di equazioni lineari: Discussione dell'uso del calcolatore. (Da: Oss. 2.5.7 a: Es. 2.5.8.)
- Lezione 21 (14/11): Sistemi di equazioni: Stabilità dell'algoritmo SI; inadeguatezza della procedura EGP. Procedura EGPP. Calcolo della
fattorizzazione QR: procedura GS. (Da: Oss. 2.6.1 a: Es. 2.7.1.)
- Lezione 22 (15/11): Sistemi di Equazioni: Unicità della fattorizzazione QR, metodo di Householder (procedura qr), esistenza della fattorizzazione.
Procedura che usa una fattorizzazione QR per risolvere un sistema di equazioni lineari: Discussione dell'uso del calcolatore. Costo: definizione di costo aritmetico e sua
ragionevolezza. Costo dei procedimenti di ricerca della soluzione di un sistema di equazioni con fattorizzazione LR e QR (prima parte). (Da: Oss. 2.7.2 a: Es. 2.8.2.)
- Lezione 23 (16/11): Costo dei procedimenti di ricerca della soluzione di un sistema di equazioni con fattorizzazione LR e QR (seconda parte).
Interpolazione: Problema dell'interpolazione polinomiale: Interpretazione geometrica e riformulazione. Teorema di esistenza ed unicità, forma
di Lagrange del polinomio interpolante. Forme di Vandermonde e Newton del polinomio interpolante. (Da: Es. 2.8.2 a: Oss. 3.1.4.)
- Lezione 24 (21/11): Interpolazione: Problema dell'interpolazione polinomiale: Esempio: Riordinamento dei dati, metodo di Horner per calcolare il
valore di un polinomio in punti dati. Problema lineare di interpolazione: definizione, esempi. (Da: Es. 3.1.5 a: Es. 3.2.1.)
- Lezione 25 (22/11): Interpolazione: Problema lineare di interpolazione: riformulazione ed esempio. Campionamento e ricostruzione: Definizione di
funzione di campionamento. Definizione di funzione di ricostruzione. Ricostruzione con interpolazione polinomiale. Definizione di errore di ricostruzione. Il problema del
campionamento e ricostruzione; Studio dell'errore di ricostruzione con interpolazione polinomiale. Teorema ed Esempi. Criterio di scelta degli istanti di campionamento.
Ricostruzione con interpolazione polinomiale per funzioni poco regolari. (Da: Oss. 3.2.2 a: Es. 3.3.7.)
- Lezione 26 (23/11): Interpolazione: Campionamento e ricostruzione: Condizionamento della ricostruzione con interpolazione polinomiale.
Lo spazio vettoriale delle funzioni continue e lineari a tratti (funzioni C-LAT). Teorema di esistenza ed unicità della funzione C-LAT che interpola dati
assegnati. Dimensione dello spazio vettoriale delle funzioni C-LAT. Ricostruzione con funzioni C-LAT: definizione. Studio dell'errore di ricostruzione con funzioni
C-LAT. Teorema ed Esempi. (Da: Oss. 3.3.8 a: Teo. 3.3.12.)
- Lezione 27 (28/11): Interpolazione: Campionamento e ricostruzione: Condizionamento della ricostruzione con funzioni C-LAT.
Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Definizione di Soluzione di un sistema di equazioni lineari nel senso dei minimi quadrati; Definizione di funzione che meglio
approssima dati assegnati nel senso dei minimi quadrati. Calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Richiami sulla nozione di ortogonalità.
Calcolo della migliore approssimazione in spazi con prodotto scalare. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio: esistenza e calcolo. (Da: Es. 3.3.14 a: Teo. 4.1.3.)
- Lezione 28 (29/11): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: sistenza ed unicità della migliore approssimazione in spazi con prodotto
scalare. Calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Relazione tra l'insieme delle soluzioni di Ax = b nel senso dei minimi quadrati e quello
delle soluzioni delle equazioni normali ATAx = ATb. Proprietà della matrice ATA. (Da: Teo. 4.1.4 a: Oss.4.2.2 (i).)
- Lezione 29 (30/11): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Pseudoinversa di una matrice A (A+).
Esempio di calcolo della matrice pseudoinversa di una matrice a colonne linearmente dipendenti. Calcolo delle soluzioni nel senso
dei minimi quadrati con il calcolatore: Fattorizzazione QR, caso rettangolare: definizione e funzione predefinita qr. Uso della fattorizzazione QR;
condizionamento non buono delle equazioni normali. (Da: Oss. 4.2.2 (ii) a: Es. 4.2.6.)
- Lezione 30 (5/12): Calcolo della funzione che meglio approssima dati assegnati nel senso dei minimi quadrati: Riformulazione e soluzione.
Esempi di problemi geometrici e meccanici riconducibili al calcolo della soluzione di un sistema nel senso dei minimi quadrati. (Sez. 4.3.)
Esercitazione 1: Scilab: Introduzione; Istruzioni number_properties, log2 e nearfloat: esempi;
visualizzazione del valore di una variabile.
- Esercitazione 2 (6/12): Scilab: Come definire una funzione (costrutto function); Ciclo for e costrutto if:
procedura per la scrittura di un numero in virgola mobile nella forma ± 2^b 0.c1,...,c53. Vettori e matrici, operatori con punto prefisso.
- Esercitazione 3 (7/12): Esercizi di riepilogo. Calcolatrici che usano il tipo numero reale costruibile.
- Esercitazione 4 (12/12): Scilab: Come disegnare il grafico di una funzione di una variabile (istruzione plot); La struttura ad albero dell'oggetto
figure e suo uso per modificare le proprietà di una figura. Il tipo polinomio in Scilab: istruzioni poly e horner.
- Esercitazione 5 (13/12):
Scilab: Realizzazione delle procedure SA ed SI; Esempio di applicazione del procedimento di soluzione di un sistema di equazioni lineari: realizzazione di un semplice
simulatore di circuiti lineari di sole resistenze e generatori indipendenti di corrente. Il comando size e le liste in Scilab.
- Esercitazione 6 (14/12): Scilab: Realizzazione di un semplice simulatore per l'analisi fasoriale di circuiti lineari di soli resistori, induttori,
condensatori e generatori indipendenti di corrente. I numeri complessi in Scilab. Uso del simulatore per disegnare il grafico del modulo della risposta in frequenza.