Calcolo Numerico 2021/2022 (diario lezioni)

Le registrazioni video delle lezioni sono disponibili sul canale generale del team 590AA 21/22 CALCOLO NUMERICO [IEL-L].

Lezione 1 (28/9): Introduzione; Numeri in virgola mobile e precisione finita: Esponente e frazione di un numero reale non zero, Esempi. Scrittura posizionale della frazione in base β, Esempi. Definizione dell'insieme F(β,m) dei numeri in virgola mobile, base β e precisione m. (Premessa e Capitolo 0 fino all'asserto 0.1.7.)
Lezione 2 (29/9): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Esempio: L'insieme F(10,1). Proprietà dell'insieme F(β,m). Funzioni predecessore e successore, Esempi di calcolo. Teorema sulla distribuzione degli elementi di F(β,m). Definizione degli insiemi di numeri in virgola mobile con esponente limitato e con elementi denormalizzati. Esercizi. (Capitolo 0 dall'asserto 0.1.8 all'asserto 0.1.16.)
Lezione 3 (30/9): Numeri in virgola mobile e precisione finita: L'insieme M. Esempi. Elementi di M adiacenti ad un numero reale. Funzione arrotondamento e proprietà. Esempi di calcolo. Funzioni errore: Definizione e Teorema sulla stima in F(β,m). Precisione di macchina. Esercizi. (Capitolo 0 dall'asserto 0.1.17 fino all'asserto 0.2.10.)
Lezione 4 (5/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Precisione di macchina; Esempio. Teorema su arrotondamento e perturbazioni. Funzioni predefinite: definizone e proprietà. Trasformazione di una procedura che usa il tipo numero reale in una che usa il tipo numero in virgola mobile e precisione finita. Esempi. (Capitolo 0 dall'asserto 0.2.11 fino all'asserto 0.4.1.)
Esercitazione 1 (6/10): Scilab: Introduzione; Istruzioni number_properties, log2 e nearfloat: esempi; visualizzazione del valore di una variabile: l'istruzione format; ciclo for: procedura per la scrittura in base due della frazione di un numero in virgola mobile.
Lezione 5 (7/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Valutazione dell'errore conseguente alla trasformazione. Esempio. Definizione di algoritmo, di algoritmo accurato e di algoritmo stabile. Definizione di calcolo ben condizionato del valore di una funzione in un punto. Teorema: algoritmo stabile e calcolo ben condizionato ⇒ algoritmo accurato. Condizionamento delle funzioni regolari, numero di condizionamento. Stabilità delle funzioni predefinite. (Capitolo 0, Sezione 0.4 parte B fino all'asserto 0.4.12, asserto 0.4.14.)
Lezione 6 (12/10): Numeri in virgola mobile e precisione finita: Valutazione dell'errore conseguente alla trasformazione: Condizionamento delle operazioni aritmetiche. Algoritmi non stabili. Esempi. (Capitolo 0, Sezione 0.4 parte B asserti 0.4.13, 0.4.15 e 0.4.16.)
Esercitazione 2 (13/10): Scilab: Estensione banale di una funzione e di un operatore alle matrici; Come definire una funzione (costrutto function); Come disegnare il grafico di una funzione di una variabile (istruzione plot); Come cancellare il contenuto di una finestra grafica (istruzione clf); Come ottenere un grafico isometrico (istruzione isoview); Come disegnare il grafico di due funzioni sullo stesso piano cartesiano. Esercizio.
Lezione 7 (14/10): Zeri di funzioni: Metodo di bisezione: descrizione e discussione con tipo numero reale: criteri d'arresto di tipo assoluto; criterio d'arresto di tipo relativo. (Capitolo 1 fino all'asserto 1.1.6.)
Lezione 8 (19/10): Zeri di funzioni: Metodo di bisezione: Discussione con tipo numero in virgola mobile e precisione finita: Stabilità dell'algoritmo di bisezione, efficacia del criterio d'arresto. Metodi ad un punto: descrizione con tipo numero reale: motivazione. Teorema di convergenza. (Capitolo 1, Sezione 1.2 e Sezione 1.3 fino all'asserto 1.3.3.)
Esercitazione 3 (20/10): Scilab: Realizzazione ed uso del metodo di bisezione. Ciclo while e istruzione mprintf. File utilizzato in classe.
Lezione 9 (21/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: descrizione con tipo numero reale: Criterio di scelta del punto iniziale. Esempio. Utilizzabilità di un metodo ad un punto. Ordine di convergenza di un metodo. (Capitolo 1, dall'asserto 1.3.4 fino all'asserto 1.3.9.)
Lezione 10 (26/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Studio grafico di un metodo. Esercizio. Metodo di Newton: descrizione con tipo numero reale; utilizzabilità e ordine di convergenza. Costruzione grafica della successione. Criterio di scelta del punto iniziale. (Capitolo 1, dall'asserto 1.3.10 fino all'asserto 1.4.5.)
Esercitazione 4 (27/10): Scilab: Realizzazione di un metodo ad un punto ed uso per lo studio della rapidità di convergenza. Il simbolo $. Confronto con il metodo di bisezione. Il caso |h'(α)| = 1.
Lezione 11 (28/10): Zeri di funzioni: Metodi ad un punto: Criteri d'arresto. Condizionamento del calcolo di uno zero di una funzione. Esercizio. (Capitolo 1, Sezioni 1.5 e 1.6.)
Lezione 12 (2/11): Zeri di funzioni: Condizionamento del calcolo di uno zero di una funzione per funzioni dipendenti da un parametro. Esempio. Condizionamento del calcolo di un punto unito di una funzione. Metodi ad un punto: Discussione con tipo numero in virgola mobile e precisione finita, efficacia del criterio d'arresto. (Capitolo 1, Sezioni 1.6 e 1.7.)
Esercitazione 5 (3/11): Scilab: Esempio di problema mal condizionato per il calcolo dello zero di una funzione. Esempio di applicazione del metodo di Newton ad una funzione con derivata nulla nello zero. I comandi poly e horner.
Lezione 13 (4/11): Sistemi di Equazioni: Casi semplici. Procedura SA ed SI. Caso generale. Definizione di fattorizzazione LR, LR con pivoting e QR. Premessa alla procedura EGP: prodotto di matrici scomposto in somma di addendi del tipo colonna x riga. (Capitolo 2, Sezioni 2.1 e 2.2.)
Lezione 14 (9/11): Sistemi di Equazioni: Procedura EGP. Uso della fattorizzazione LR. (Capitolo 2, Sezione 2.3. In questa sezione la presentazione della procedura EGP è diversa da, ma equivalente a, quella data in classe.)
Esercitazione 6 (10/11): Scilab: Realizzazione delle procedure SA ed SI; Esempio di applicazione del procedimento di soluzione di un sistema di equazioni lineari: realizzazione di un semplice simulatore di circuiti lineari di sole resistenze e generatori indipendenti di corrente. Il comando size e le liste in Scilab.
Lezione 15 (11/11): Sistemi di Equazioni: Spazi normati: norme uno, due e infinito in Rⁿ; distanza tra vettori, intorni sferici. Norma indotta di una matrice: definizione e proprietà, formule di calcolo per norma uno, due e infinito. (Capitolo 2, Sezione 2.4.)
Lezione 16 (16/11): Sistemi di Equazioni: Condizionamento: definizione di perturbazione dei dati, scostamento della soluzione e loro misure relative. Teorema di condizionamento con δA = 0; numero di condizionamento di una matrice. Teorema di condizionamento con δA ≠ 0 e δb ≠ 0. (Capitolo 2, Sezione 2.5 fino all'asserto 2.5.5.)
Lezione 17 (17/11): Sistemi di Equazioni: Teorema di condizionamento: Effetto dell'arrotondamento dei dati. Esempi di uso. Procedura che usa una fattorizzazione LR con pivoting per risolvere un sistema di equazioni lineari: Discussione dell'uso del calcolatore: Stabilità dell'algoritmo SI; inadeguatezza della procedura EGP. (Capitolo 2, dall'asserto 2.5.6 all'asserto 2.6.2.)
Lezione 18 (18/11): Sistemi di Equazioni: Procedura EGPP. Calcolo della fattorizzazione QR: procedura GS; uso per la soluzione di un sistema. Procedura qr. Procedura che usa una fattorizzazione QR per risolvere un sistema di equazioni lineari: Discussione dell'uso del calcolatore. (Capitolo 2, asserto 2.6.3 e Sezione 2.7.)
Esercitazione 7 (23/11): Scilab: Interpretazione dell'approssimazione della soluzione delle equazioni nodali di un circuito come soluzione di un circuito perturbato. Realizzazione di un semplice simulatore per l'analisi fasoriale di circuiti lineari di soli resistori, induttori, condensatori e generatori indipendenti di corrente. La funzione predefinita atan.
Lezione 19 (24/11): Sistemi di Equazioni: Costo: definizione di costo aritmetico e sua ragionevolezza. Costo dei procedimenti di ricerca della soluzione di un sistema di equazioni. Interpolazione: Problema dell'interpolazione polinomiale: Interpretazione geometrica e riformulazione. Teorema di esistenza ed unicità, forma di Lagrange del polinomio interpolante. (Capitolo 2, Sezione 2.8. Capitolo 3, fino all'asserto 3.1.2.)
Lezione 20 (30/11): Interpolazione: Problema dell'interpolazione polinomiale: forma di Vandermonde e Newton del polinomio interpolante. Problema lineare di interpolazione: esempi e riformulazione. (Capitolo 3, dall'asserto 3.1.3 fino all'asserto 3.1.5.)
Lezione 21 (1/12): Interpolazione: Campionamento e ricostruzione: Definizione di funzione di campionamento. Definizione di funzione di ricostruzione. Ricostruzione con interpolazione polinomiale. Definizione di errore di ricostruzione. Il problema del campionamento e ricostruzione; Studio dell'errore di ricostruzione con interpolazione polinomiale. Teorema ed Esempi. Criterio di scelta degli istanti di campionamento. Ricostruzione con interpolazione polinomiale per funzioni poco regolari. Lo spazio vettoriale delle funzioni continue e lineari a tratti (funzioni C-LAT). (Capitolo 3, Sezione 3.3 fino all'asserto 3.3.9, asserto 3.3.8 escluso.)
Lezione 24 (3/12): Interpolazione: Campionamento e ricostruzione: Condizionamento della funzione di ricostruzione con interpolazione polinomiale. Dimensione dello spazio vettoriale delle funzioni C-LAT, interpolazione con funzioni C-LAT. Ricostruzione con funzioni C-LAT: definizione, andamento dell'errore di ricostruzione. Esempi. Condizionamento della funzione di ricostruzione con funzioni C-LAT. Applicazioni del campionamento e ricostruzione con funzioni C-LAT: Approssimazione del grafico di una funzione. (Capitolo 3, Sezione 3.3: asserto 3.3.8 e dall'asserto 3.3.10 all'asserto 3.3.15.)
Lezione 25 (7/12): Interpolazione: Applicazioni del campionamento e ricostruzione con funzioni C-LAT: Integrazione numerica (formula dei trapezi). Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Definizione di Soluzione di un sistema di equazioni lineari nel senso dei minimi quadrati, scarto quadratico. Calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Gradiente dello scarto quadratico, Equazioni normali.
Lezione 26 (9/12): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Esempi. Pseudoinversa di una matrice (A⁺). Calcolo delle soluzioni nel senso dei minimi quadrati con il calcolatore: Fattorizzazione QR, caso rettangolare: definizione e funzione predefinita qr. Uso della fattorizzazione QR; condizionamento non buono delle equazioni normali. Esempio.
Lezione 27 (10/12): Esercitazione 8: Scilab: Realizzazione di una procedura che determina i valori del polinomio che interpola dati assegnati in un insieme di punti. Applicazioni: grafico degli elementi della base di Lagrange e studio numerico della ricostruzione con interpolazione polinomiale.
Lezione 28 (14/12): Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: Applicazioni del calcolo delle soluzioni di un sistema nel senso dei minimi quadrati: Calcolo della configurazione di equilibrio di un sistema di punti e molle, Funzione che meglio approssima dati assegnati nel senso dei minimi quadrati. Esempi.
Lezione 29 (15/12): Scilab: i comandi backslash e pinv. Esercizi di riepilogo.
Lezione 30 (17/12): Esercizi di riepilogo.

Calcolo Numerico, a.a. 2021/2022

Ingegneria Elettronica