Programma (per argomenti) del Modulo di Algebra Lineare
Preliminari/Prerequisiti
Insiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi. Polinomi, geometria analitica, trigonometria.
Numeri complessi.
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari
– Campi e spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.
– Dipendenza e indipendenza lineare, generatori, basi e componenti di un vettore rispetto ad
una base, dimensione di uno spazio e di un sottospazio vettoriale. Span di un insieme di
vettori.
– Somma ed intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di
sottospazi e componenti di un vettore rispetto ad una somma diretta.
– Applicazioni lineari. Matrice associata ad un’applicazione lineare dopo aver scelto basi in
partenza ed arrivo.
– Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto tra matrici. Trasposta ed
inversa di una matrice.
– Matrici di cambio di base. Similitudine tra matrici.
– Nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Teorema della dimensione. Legami tra
iniettività, surgettività e dimensioni degli spazi di partenza ed arrivo per applicazioni lineari.
– Determinante di una matrice: definizione, principali proprietà, esistenza, unicità. Calco- lo mediante l’algoritmo di Gauss e gli sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta, dell’inversa, del prodotto.
– Rango di una matrice. Calcolo del rango.
– Autovalori, autovettori, autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
– Polinomio caratteristico. Relazioni tra coefficienti del polinomio caratteristico, determinante, autovalori.
– Cenni sulle forme canoniche. Applicazioni e matrici simmetriche. Criteri di diagonalizzabilità sui reali e sui complessi.
Prodotti scalari e forme quadratiche
– Prodotto scalare canonico in Rn. Norma e distanza.
– Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
– Matrici ortogonali.
– Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi.
– Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Forme quadratiche definite positive.
– Metodi per determinare il tipo di una forma quadratica.
– Prodotti scalari in generale e matrici ad essi associate. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortogonali ed ortonormali (e procedimento di ortogonalizzazione) rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo (cenni).
– Applicazioni simmetriche rispetto ad un generico prodotto scalare e proprietà delle matrici ad
esse associate. Teorema spettrale.
Geometria analitica
– Vettori geometrici nel piano, nello spazio, e piu in generale in Rn.
– Geometria analitica nel piano. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Angoli e
distanze.
– Geometria analitica nello spazio. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani. Angoli
e distanze tra rette e piani.
– Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di Rn.
Sistemi lineari
– Scrittura di un sistema lineare in termini di matrici e vettori. Interpretazioni in termini di
combinazioni lineari, Span, ed in termini di applicazioni lineari.
– Struttura generale dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non
omogeneo.
– Matrici a scala e risoluzione di un sistema lineare mediante algoritmo di Gauss.
– Risolubilità di un sistema lineare e rango: teorema di Rouché-Capelli.
– Affinità in Rn.
Commenti recenti