Modulo di Algebra Lineare – A.A. 2015-2016
- Preliminari/Prerequisiti
Insiemi e funzioni, principio di induzione, numeri complessi. Polinomi, geometria analitica, trigonometria.
- Spazi vettoriali ed applicazioni lineari
– Campi e spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali.
– Dipendenza e indipendenza lineare, generatori, basi e componenti di un vettore rispetto ad
una base, dimensione di uno spazio e di un sottospazio vettoriale. Span di un insieme di
vettori.
– Somma ed intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Somma diretta di
sottospazi e componenti di un vettore rispetto ad una somma diretta.
– Applicazioni lineari. Matrice associata ad un’applicazione lineare dopo aver scelto basi in
partenza ed arrivo.
– Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto tra matrici. Trasposta ed
inversa di una matrice.
– Matrici di cambio di base. Similitudine tra matrici.
– Nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Teorema della dimensione. Legami tra
iniettività, surgettività e dimensioni degli spazi di partenza ed arrivo per applicazioni lineari.
– Determinante di una matrice: definizione, principali proprietà, esistenza, unicità. Calco-
lo mediante l’algoritmo di Gauss e gli sviluppi di Laplace. Determinante della trasposta,
dell’inversa, del prodotto.
– Rango di una matrice. Calcolo del rango.
– Autovalori, autovettori, autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
– Polinomio minimo, polinomio caratteristico. Relazioni tra coefficienti del polinomio
caratteristico, traccia, determinante, autovalori.
– Cenni sulle forme canoniche. Applicazioni e matrici simmetriche. Criteri di diagonalizzabilità sui reali e sui complessi. - Prodotti scalari e forme quadratiche
– Prodotto scalare canonico in Rn. Norma e distanza.
– Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
– Matrici ortogonali.
– Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali su sottospazi.
– Forme quadratiche e matrici ad esse associate. Definizione di segnatura.
– Metodi per determinare la segnatura di una forma quadratica.
– Prodotti scalari in generale e matrici ad essi associate. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Basi ortogonali ed ortonormali (e procedimento di ortogonalizzazione) rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo (cenni).
– Applicazioni simmetriche rispetto ad un generico prodotto scalare e proprietà delle matrici ad
esse associate. Teorema spettrale rispetto ad un generico prodotto scalare definito positivo. - Geometria analitica
– Vettori geometrici nel piano, nello spazio, e pi`u in generale in Rn.
– Geometria analitica nel piano. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Angoli e
distanze.
– Geometria analitica nello spazio. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani. Angoli
e distanze tra rette e piani.
– Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di Rn.
– Affinità e isometrie in Rn. - Sistemi lineari
– Scrittura di un sistema lineare in termini di matrici e vettori. Interpetazioni in termini di
combinazioni lineari, Span, ed in termini di applicazioni lineari.
– Struttura generale dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non
omogeneo.
– Matrici a scala e risoluzione di un sistema lineare mediante algoritmo di Gauss.
– Risolubilità di un sistema lineare e rango: teorema di Rouché-Capelli.
– Metodo di Cramer per sistemi lineari.
Modulo di Analisi II – A.A. 2015-2016
- Preliminari/Prerequisiti
– Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
– Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici,
forme quadratiche). - Calcolo differenziale in più variabili
– Lo spazio Rn. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
– Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili:
linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
– Limiti e continuità per funzioni di più variabili.
– Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico.
– Differenziale per funzioni di più variabili e sua interpretazione geometrica in termini di
(iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
– Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili.
– Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili.
– Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario.
– Insiemi compatti in Rn. Teorema di Weierstass per funzioni di pi`u variabili. Generalizzazioni
del teorema di Weiertrass nel caso di insiemi non limitati.
– Massimi e minimi vincolati.
– Calcolo differenziale per funzioni da Rn ad Rm. Matrice Jacobiana.
– Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
– Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
– Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
– Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
– Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
– Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle
coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
– Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
– Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza. - Curve, superfici, calcolo vettoriale
– Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
– Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
– Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
– Forme differenziali.
– Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte e potenziali.
– Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse. Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.
– Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
– Area di una superficie: definizione e calcolo.
– Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
– Operatori differenziali: divergenza, rotore, gradiente. Relazioni tra gli operatori
differenziali.
– Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
– Formula di Gauss-Green: enunciati ed applicazioni.
– Formula di Stokes: enunciati ed applicazioni.
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