ANALISI MATEMATICA II E ALGEBRA LINEARE

 

NUMERI COMPLESSI. Definizione e prime proprieta'. Modulo e coniugio. Il teorema fondamentale dell'algebra. Radici n-ime. Forma trigonometrica di un numero complesso. La funzione esponenziale nel campo complesso.

 

SPAZI VETTORIALI. Esempi e definizione. Gli spazi R^n e C^n. Vettori e operazioni tra vettori.  Dipendenza lineare, generatori e basi. Coordinate. Dimensione. Sottospazi vettoriali. Somma,  intersezione, formula di Grassmann, somma diretta. 

 

APPLICAZIONI LINEARI E MATRICI. Definizioni ed esempi. Nucleo e immagine. Algebra  delle matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata ad una applicazione  lineare. Cambio di base.

 

DETERMINANTE. Determinante di matrici 2x2 e 3x3 e significato geometrico. Definizione  generale e proprietà caratterizzanti. Metodo di Gauss, sviluppi di Laplace. Teorema di Binet e  matrice inversa. Rango.

 

SISTEMI LINEARI E SOTTOSPAZI AFFINI. Metodo di Gauss. Sistemi omogenei. Teorema  di Rouché-Capelli. Regola di Cramer. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine.  Rette e piani nello spazio.

 

AUTOVALORI E AUTOVETTORI. Sottospazi invarianti, autovalori, autovettori ed autospazi.  Polinomio caratteristico. Esistenza di basi di autovettori e diagonalizzabilità.

 

SPAZI EUCLIDEI REALI E COMPLESSI. Prodotto scalare ed hermitiano, norma e  ortogonalità, Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Prodotto  scalare ed hermitiano canonico in R^n e C^n.. Matrici ortogonali ed unitarie. Diagonalizzazione di  matrici simmetriche ed hermitiane.

 

CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIU  VARIABILI. R^n come spazio metrico. Limiti di  funzioni.   Continuità.   Derivata  parziale  e  derivate  direzionali.   Funzioni   differenziabili   e  differenziale. Iperpiano tangente al grafico. Gradiente. Teorema del differenziale totale. Matrice  Jacobiana. Differenziale di una funzione composta. Derivate successive. Formula di Taylor.  Massimi e minimi. 

 

CALCOLO INTEGRALE IN PIU  VARIABILI. Integrale di Riemann. Formule di riduzione.  Cambio di variabile. Insiemi misurabili. Calcolo di aree e volumi.

 

CAMPI VETTORIALI. Rappresentazione parametriche di curve. Lunghezza. Integrale di linea.  Campi vettoriali e forme differenziali lineari. Circuitazione e integrazione. Campi conservativi e  forme esatte.