SUR L’APPLICATION DE RÉCIPROCITÉ POUR UNE SURFACE FIBRÉE EN CONIQUES DÉFINIE SUR UN CORPS LOCAL

Tamás Szamuely (Budapest)

1. LE RÉSULTAT

Soit k un corps local (i.e. un corps complet pour une valuation discrète, à corps résiduel fini), et soit X une variété propre lisse géométriquement intègre définie sur k. Considérons le groupe

SK_{1}(X) := coker( ⨁_{x∈X_{1}} K_{2}k(x) → ⨁_{x∈X_{0}} K_{1}k(x))

où X_{i} veut dire l’ensemble des points de dimension i de X et l’homomorphisme est induit par le symbole modéré. Shuji Saito a défini (cf. [15], chap. 3) une application de réciprocité

ϕ_{X,n} : SK_{1}(X) ⟶ π_{1}^{ab}(X)

où π_{1}^{ab}(X) est l’abélianisé du groupe fondamental étale de X. La construction est faite de la manière suivante : pour chaque point fermé x de X, on envoie k(x)^{×} dans Gal(k(x)^{ab}/k(x)) par la théorie des corps de classes locale, on compose par l’homomorphisme donné par la fonctorialité du groupe fondamental, puis on fait la somme sur les points fermés de X. Une loi de réciprocité assure alors que l’homomorphisme ainsi défini induit une application de SK_{1}(X) dans π_{1}^{ab}(X). Dans [12], 4.1 on trouve une autre construction de ϕ_{X} (pour k de caractéristique 0), équivalente à celle rappelée ici.

Fixons un entier n inversible dans k, et notons ϕ_{X,n} : SK_{1}(X)/n → π_{1}^{ab}(X)/n le morphisme ϕ_{X} ⊗ ℤ/nℤ. Saito a démontré l’injectivité de ϕ_{X,n} pour X une courbe (cf. [14], Lemma 5.3) ; dans ce cas, il a également donné une description du conoyau de ϕ_{X} (ibid., th. 2.4).

Dans cet article, nous démontrons le résultat suivant.

TH^{}ÉOR^{}ÈME. — Supposons que X soit une surface admettant un morphisme propre surjectif π : X → C, où C est une k-courbe propre, lisse, géométriquement intègre et la fibre générique de π est une conique lisse. Alors ϕ_{X,n} est injectif, et de plus on a coker ϕ_{X} ≅ coker ϕ_{C}.

Notons que le théorème vaut sans hypothèse sur la réduction de X. Il est d’ailleurs instructif de le comparer avec l’exemple de Parimala et Suresh [11] : ces auteurs étudient l’application cycle sur de telles surfaces, et montrent qu’elle peut admettre un noyau non trivial même dans le cas où la fibration π est lisse.

L’idée de la démonstration est de comparer les noyau et conoyau de ϕ_{X} avec ceux de ϕ_{C}. Pour ce faire, remarquons d’abord que le morphisme π : X → C induit un morphisme π_{∗} : SK_{1}(X) → SK_{1}(C) par la fonctorialité covariante du complexe de Gersten, i.e. par le diagramme commutatif (qui généralise une loi de réciprocité de Weil, cf. [6], p. 276)

⨁_{x∈X_{1}} K_{2}k(x) ⟶ ⨁_{x∈X_{0}} K_{1}(k(x))

↓  ↓
K_{2}k(C) ⟶ ⨁_{p∈C_{0}} K_{1}(k(p))

où les homomorphismes verticaux sont induits par les normes en K-théorie. La construction de ϕ_{X} rappelée plus haut, jointe à l’invariance de la théorie des corps de classes locale par rapport aux normes assure alors la fonctorialité covariante de l’application de réciprocité pour les morphismes propres.

Or dans les paragraphes 2 à 4 nous allons établir les propositions suivantes :

PROPOSITION 1. — Le morphisme naturel π_{1}^{ab}(X) → π_{1}^{ab}(C) induit par la projection π : X → C est un isomorphisme.

PROPOSITION 2. — Le morphisme π_{∗} : SK_{1}(X) → SK_{1}(C) est un isomorphisme.

Vu la fonctorialité de ϕ_{X}, le théorème découle de ces deux faits et du résultat déjà cité de Saito sur l’injectivité de ϕ_{C,n}.

2. RÉDUCTION AU CAS D’UNE FIBRATION C-MINIMALE

Dans ce paragraphe, on rappelle quelques résultats de géométrie birationnelle (valables sur un corps k quelconque) qui permettront de simplifier l’étude des fibres du morphisme π. Disons qu’une surface comme dans le Théorème est C-minimale si les fibres X_{p} du morphisme π au-dessus des points fermés p de C satisfont à l’une des deux conditions suivantes :

• X_{p} est une conique lisse ;

• Sur une extension quadratique du corps k(p), X_{p} devient la réunion de deux droites projectives se coupant en un point k(p)-rationnel.

Le résultat suivant est dû à Manin :

LEMME 1. — Soit X une surface comme dans le Théorème. Alors il existe une ksurface X̃ équipée d’un k-morphisme π̃ : X̃ → C pour lequel elle est C-minimale, ainsi qu’un C-morphisme propre birationnel X → X̃, défini par l’éclatement d’un nombre fini de points fermés de X̃.

Pour la démonstration, combiner [8], 1.4 et 1.6 avec [9], 21.5 et 21.8.

D’autre part, on a le lemme bien connu suivant dont nous incluons une démonstration élémentaire faute de référence :

LEMME 2. — Soit f_{z} : Y → Z un morphisme de k-surfaces propres et lisses défini par l’éclatement d’un point fermé z de Z. Alors f_{z} induit un isomorphisme de SK_{1}(Y) avec SK_{1}(Z).

En effet, notons E le diviseur exceptionnel. On a alors le diagramme commutatif à lignes exactes, dont les morphismes verticaux sont induits par les symboles modérés :

0 ⟶  K_{2}k(E)  ⟶ ⨁_{u∈Y_{1}} K_{2}k(u) ⟶ ⨁_{v∈Z_{1}} K_{2}k(v) ⟶ 0
↓  ↓  ↓
1 ⟶ _{N}( ⨁_{y∈E_{0}} k(y)^{×}) ⟶ ⨁_{y∈Y_{0}} k(y)^{×}  ⟶^{N} ⨁_{z∈Z_{0}} k(z)^{×} ⟶ 1

Ici, le morphisme N est l’identité sur les corps résiduels des points non situés sur E et le produit des normes sur les éléments de ⨁_{y∈E_{0}} k(y)^{×}. L’indice N veut dire les éléments

tués par N. Par un résultat classique de Tate (cf. [2], p. 379), le morphisme vertical de gauche est surjectif. (Le même résultat assure la commutativité du carré de droite.) Mais les conoyaux des deux autres morphismes verticaux sont respectivement SK_{1}(Y) et SK_{1}(Z), d’où le lemme.

Comme par ailleurs le groupe fondamental est un invariant birationnel (cf. [SGA1], Exp. X, Cor. 3.4) et comme ϕ_{X} est fonctorielle pour les morphismes propres, les lemmes 1 et 2 permettent de supposer désormais que X soit une surface C-minimale.

3. DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 1

Pour démontrer l’isomorphisme de la proposition 1, il suffit de l’établir modulo m pour tout entier positif m, i. e. de démontrer que le morphisme dual H^{1}(C, ℤ/m) → H^{1}(X, ℤ/m) est un isomorphisme. Par l’hypothèse de C-minimalité, les fibres géométriques de π sont connexes, nous avons donc π_{∗}ℤ/m = ℤ/m. Une considération de la suite spectrale de Leray associée à π : X → C nous apprend alors qu’il suffit d’établir la nullité du groupe H^{0}(C, R^{1}π_{∗}ℤ/m). Or les fibres géométriques de R^{1}π_{∗}ℤ/m sont toujours nulles, ce que l’on voit comme suit.

• Si \overline{p} est au–dessus d’un point de C où la fibre est lisse, on a par changement de base (R^{1}π_{∗}ℤ/m)\overline{p} = H^{1}(ℙ1 ; \overline{k}, ℤ/m) = 0 car ℙ^{1} est simplement connexe.

• Le cas où \overline{p} est au–dessus d’un point où la fibre est dégénérée se ramène au cas précédent par la suite exacte de Mayer-Vietoris associée aux inclusions des deux composantes irréductibles de X\overline{p} (elle se démontre pour la cohomologie étale exactement comme dans [7], II.5.6 ; alternativement, elle peut être perçue comme un cas très particulier de la théorie de descente cohomologique de [SGA4], exp. VIbis) :

\begin{matrix}H^{0}(ℙ1 ; \overline{k}, ℤ/n) ⊕ H^{0}(ℙ1 ; \overline{k}, ℤ/m) → & H^{0}(\{point\}, ℤ/m) → H^{1}(X\overline{p}, ℤ/m) → \\ → & H^{1}(ℙ1 ; \overline{k}, ℤ/m) ⊕ H^{1}(ℙ1 ; \overline{k}, ℤ/m) \end{matrix}

Ici, le dernier terme de la suite exacte est zéro, les deux premiers sont isomorphes respectivement à ℤ/m ⊕ ℤ/m et ℤ/m; le morphisme qui les lie est la différence des composantes, ce qui est surjectif. Donc le troisième terme s’annule et la démonstration de la proposition est terminée.

4. DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 2

Considérons le diagramme à lignes exactes suivant, analogue à celui figurant dans le paragraphe 1 de [4] :

⨁_{x∈(X_{η})_{0}} K_{2}k(x) ⟶ ⨁_{p∈C_{0}} SK_{1}(X_{p}) ⟶ SK_{1}(X) ⟶ 0

↓ α_{2}  ↓ α_{1}  ↓ π_{∗}
K_{2}k(C)  ⟶ ⨁_{p∈C_{0}} k(p)^{×} ⟶ SK_{1}(C) ⟶ 0

Ici, les morphismes α_{1} et α_{2} sont donnés par les normes en K–théorie de Milnor, et X_{η} est la fibre générique de π. La commutativité du carré de gauche ainsi que le fait que α_{1} soit bien défini sont assurés par le diagramme commutatif du paragraphe 1 ; la commutativité du carré de droite est tautologique.

Par le lemme du serpent, la Proposition 2 découle donc des deux lemmes suivants :

LEMME 3. — Le morphisme α_{1} est un isomorphisme.

LEMME 4. — Le morphisme α_{2} est surjectif.

Commençons par le lemme 3. On va faire une vérification cas par cas, suivant le type des fibres.

• Cas d’une fibre lisse : Considérons l’algèbre de quaternions D associée sur k(p) à X_{p} (cf. par exemple [3], 7.4). Par la théorie de la norme réduite (ibid., 7.3), la surjectivité de la norme ⨁_{x∈(X_{p})_{0}} k(x)^{×} → k(p)^{×} est alors équivalente au fait bien connu que tout élément de k(p)^{×} est une norme réduite de D (en effet, k(p) est un corps local, et on peut appliquer [16], chap. X, prop. 6). Pour l’injectivité, le théorème à la page 79 de [10] implique que ker(SK_{1}(X_{p}) ⟶^{N} k(p)^{×}) ≃ SK_{1}(D). Or le dernier groupe est 0 sur un corps local par un théorème classique de Wang (cf. [5], pp. 164-165).

• Cas d’une fibre dégénérée : La surjectivité est ici évidente, la fibre possédant un point k(p)-rationnel. Pour l’injectivité, soient K = k(p), K′ l’extension quadratique qui déploie la fibre X_{p}. Soit X^{1} l’une des composantes de X_{p} ×K′. Le morphisme composé X^{1} → X_{p} ×K′ → X_{p} induit un isomorphisme sur les sous–schémas ouverts obtenus en enlevant le point double de X_{p} et son image réciproque sur X^{1}, notée y. Notre tâche est de montrer que la ligne du bas du diagramme commutatif de complexes

K_{2}K′(X^{1}) ⟶ ⨁_{x′∈(X^{1})_{0}} K′(x′)^{×} ⟶ K′^{×}
↓ norme  ↓ norme  ↓ N_{K′/K}
K_{2}K(X_{p}) ⟶ ⨁_{x∈(X_{p})_{0}} K(x)^{×}  ⟶^{α} K^{×}

est exacte. Soit donc (f_{x}) ∈ ker α. En modifiant par un élément de K_{2}K(X_{p}), on peut supposer que la composante au point double soit 1. Par l’isomorphisme décrit plus haut, (f_{x}) provient alors d’un élément (f′_{x′}) de ⊕K′(x′)^{×} dont la composante en y est 1. Modifions cet élément en plaçant [ΠN_{K′(x′)/K′}(f′_{x′})]^{−1} au–dessus du point y; le nouvel élément s’applique toujours sur (f_{x}) (par commutativité du carré de droite) mais sa norme en K′ est 1. X^{1} étant une droite projective, la ligne du haut est exacte d’après le théorème de Tate déjà cité ; (f_{x}) provient donc d’un élément de K_{2}K′(X^{1}).

Prouvons enfin le lemme 4. Soit D l’algèbre de quaternions associée à la conique générique X_{η}. Par la propriété

fondamentale de la norme réduite pour K_{2} (cf. l’introduction de [10]), on a un diagramme commutatif :

∏_{L déploie D} K_{2}(L) ⟶ K_{2}(D)

↓ Nrd

K_{2}k(C) [figure]

ΠN_{L|k(C)}

Alperin et Dennis (cf. [1], [13]) nous apprennent que la flèche horizontale est surjective. Comme un corps L déploie D si et seulement si X_{η} possède un L–point, par transitivité de la norme on en conclut que Im α_{2} = Im(K_{2}(D) ⟶^{Nrd} K_{2}k(C)). Mais par un résultat de Merkouriev, (cf. [10], Theorem 9), ce dernier groupe est égal au noyau de l’homomorphisme K_{2}k(C) → H^{4}(k(C), ℤ/2) obtenu par cup-produit avec la classe de D à partir du symbole cohomologique. Or H^{4}(k(C), ℤ/2) = 0 car k(C) est de dimension cohomologique 3. Cela montre la surjectivité de α_{2}, et termine la démonstration du théorème.

Remerciement. Ce travail a bénéficié de discussions enrichissantes avec J.-L. Colliot-Thélène ; qu’il en soit remercié ici.

Note ajoutée ultérieurement. Après avoir soumis cet article, j’ai été informé que dans des exposés faits en 1989, P. Salberger avait annoncé un résultat généralisant l’énoncé d’injectivité dans le théorème ci-dessus à une classe de surfaces satisfaisant à certains critères cohomologiques.

BIBLIOGRAPHIE

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Tamás Szamuely Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences PO Box 127 H-1364 Budapest, Hungary