Séminaire Bourbaki Juin 2003 55ème année, 2002-2003, n^{o} 923

GROUPES DE GALOIS DE CORPS DE TYPE FINI [d’après Pop]

par Tamás SZAMUELY

Le but de cet exposé est de montrer que le groupe de Galois absolu d’un corps de fonctions est un invariant très fin : d’une part, il détermine le corps de fonctions à isomorphisme près ; d’autre part, il est possible d’en extraire des informations très riches et variées sur l’arithmétique et la géométrie du corps en question.

1. ÉNONCÉS

Les deux résultats principaux qui nous intéressent ici sont les suivants. Ici, et dans la suite, pour un corps F on fixe toujours une clôture séparable F^{s}, et on note G_{F} le groupe de Galois absolu Gal (F^{s}|F).

Théorème 1.1 (Florian Pop, [30], [31]). — Soient K, L deux corps infinis, de type fini sur le corps premier. Supposons qu’il existe un isomorphisme Φ : G_{K} →^{∼} G_{L} de groupes profinis. Alors il existe des extensions purement inséparables K′|K, L′|L avec K′ ≅ L′. De plus, il existe un isomorphisme ϕ : L′^{s} →^{∼} K′^{s} de clôtures séparables tel que pour tout élément g ∈ G_{K′} on ait Φ(g) = ϕ^{−1} ∘ g ∘ ϕ.

Remarques 1.2. —

(1) En particulier, tout corps de type fini sur Q est déterminé à isomorphisme près par son groupe de Galois absolu. Un tel énoncé ne vaut pas en caractéristique positive, car si K′|K est une extension purement inséparable de corps, alors l’homomorphisme de restriction G_{K} → G_{K′} est un isomorphisme. La formulation ci-dessus tient compte de ce contre-exemple évident.

(2) Pop démontre en fait un énoncé plus précis : pour L, K comme ci-dessus, considérons la règle qui associe à tout isomorphisme ϕ : L^{i} →^{∼} K^{i} entre leurs clôtures parfaites l’isomorphisme Φ : G_{K} →^{∼} G_{L} donné par la formule Φ(g) = ϕ^{−1} ∘ g ∘ ϕ. En caractéristique 0, c’est une bijection entre l’ensemble des isomorphismes de corps L →^{∼} K et le quotient de l’ensemble des isomorphismes de groupes profinis G_{K} →^{∼} G_{L} par l’action intérieure naturelle de G_{L}. En caractéristique positive on a une bijection

923-02

analogue, mais il faut y identifier les isomorphismes L^{i} →^{∼} K^{i} qui sont les mêmes quitte à tordre par un automorphisme de Frobenius .

Dans un travail en préparation, Pop obtient l’amplification remarquable que voici. Pour un groupe profini G et un nombre premier ℓ, notons G^{ℓ} le pro-ℓ-quotient maximal de G.

Théorème 1.3 (Florian Pop, [32], [33]). — Soient ℓ un nombre premier, K et L deux corps de type fini sur la clôture algébrique du corps premier dont le degré de transcendance est au moins 2 et dont la caractéristique est différente de ℓ. Supposons qu’il existe un isomorphisme Φ : G_{K}^{ℓ} →^{∼} G_{L}^{ℓ} de groupes profinis. Alors il existe des extensions purement inséparables K′|K, L′|L avec K′ ≅ L′. De plus, il existe un isomorphisme ϕ : L′^{s} →^{∼} K′^{s} de clôtures séparables tel que pour tout élément g ∈ G_{K}^{ℓ} on ait Φ(g) = ϕ^{−1} ∘ g ∘ ϕ.

Remarques 1.4. — (1) Bien entendu, on a encore un énoncé plus précis comme dans la remarque ci-dessus.

(2) L’énoncé est faux pour les corps de degré de transcendance un. En effet, si K est le corps de fonctions de n’importe quelle courbe propre lisse X de genre g > 0 sur un corps algébriquement clos, et ℓ est premier à la caractéristique de K, alors G_{K}^{ℓ} est la limite projective des groupes fondamentaux ℓ-complétés π_{1}(U, u)^{ℓ} pour les sous-schémas ouverts U ⊂ X. Or la présentation d’un tel π_{1}(U, u)^{ℓ} est bien connue d’après les travaux de Riemann, Poincaré et Grothendieck (voir [15]) : elle est de la forme < a_{1}, b_{1}, …, a_{g}, b_{g}, i_{1}, …, i_{r}|[a_{1}, b_{1}] … [a_{g}, b_{g}]i_{1} … i_{r} = 1 >, où r est le nombre des points de X \ U. Ainsi, G_{K}^{ℓ} ne dépend que de g et du cardinal du corps de base.

(3) Le th. 1.1 ne semble pas découler de manière évidente du th. 1.3. Toutefois, après avoir fait une bonne partie de la démonstration du th. 1.1, on peut conlure par une application de 1.3 (voir la remarque 8.6).

2. HISTORIQUE

Bien que la caractérisation galoisienne des corps réels clos par Artin et Schreier [2] puisse être regardée comme un précurseur des résultats ci-dessus, l’histoire commence réellement avec des travaux de Neukirch à la fin des années 1960. Celui-ci a été amené par son étude de la structure du groupe de Galois absolu d’un corps p-adique (un sujet de recherche florissant à l’époque) à une caractérisation cohomologique des sous-groupes de décomposition associés aux idéaux premiers dans une extension galoisienne de corps de nombres. De là il a pu déduire, par une application du théorème de densité de Chebotarev, le th. 1.1 dans le cas où L et K sont des extensions finies galoisiennes de Q (voir [24]). En plus, il a remarqué que l’on pourrait étendre son résultat au cas de corps de nombres arbitraires via la solution d’un problème de plongement en théorie de Galois inverse.

923-03

Ce travail a été mené à bien par Iwasawa (non publié) et Uchida [39] (voir aussi [26], [27]). Ce dernier a également étendu dans [40] la méthode de Neukirch au cas des corps de fonctions à une variable sur un corps fini.

L’histoire semblait donc arriver à une conclusion satisfaisante, mais l’intérêt pour ce genre de questions a été réalimenté vers le milieu des années 1980 par la vision anabélienne de Grothendieck, exposée dans sa célèbre lettre à Faltings [17]. Ce programme, qui vise la reconstitution de certains schémas définis sur des corps de type fini (dits schémas anabéliens) ainsi que leurs morphismes dominants à partir de leur groupe fondamental géométrique muni de l’action extérieure du groupe de Galois du corps de base, a donné lieu à de spectaculaires développements ces dernières années dont la plupart ont été rapportés dans ce séminaire par Faltings [13] (voir aussi les survols [23], [27], [29], [38] et [18]). Grothendieck énonce dans sa lettre le th. 1.1 comme une variante birationnelle de ses conjectures sur les groupes fondamentaux, avec toutefois une différence notable : il considère les groupes de Galois des corps de fonctions munis d’augmentations naturelles vers le groupe de Galois absolu d’un corps de base k (qui peut être le corps premier, supposé le même pour K et L, ou plus généralement un corps de type fini sur le corps premier contenu dans chacun de ces deux corps) et par suite les k-isomorphismes entre K et L. En revanche, il prédit que les k-homomorphismes K → L devraient également être reconstituables à partir des G_{k}-morphismes induits sur les groupes de Galois. Or le th. 1.1 et surtout le th. 1.3 montrent que du moins en ce qui concerne la reconstruction des isomorphismes, l’action du groupe de Galois d’un corps de base n’est pas essentielle. Les travaux récents de Tamagawa, Raynaud et autres sur les groupes fondamentaux des courbes sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive témoignent d’ailleurs du même phénomène.

Concernant la conjecture birationnelle de Grothendieck, le premier pas est franchi par Pop [28], où le th. 1.1 est démontré dans le cas des corps de fonctions à une variable sur un corps de nombres, en combinant la stratégie de Neukirch avec des considérations en théorie des valuations utilisant des techniques de logique. Spiess [37] a ensuite trouvé une démonstration purement arithmético-géométrique encore plus proche de l’esprit original de Neukirch. En combinant ces idées avec des arguments de géométrie birationnelle, Pop a ensuite réussi à démontrer le th. 1.1.

Entretemps, dans ses articles [4], [5], Bogomolov a esquissé un programme pour démontrer un résultat similaire au th. 1.3, mais pour des corps de type fini au-dessus d’un corps algébriquement clos quelconque. D’après son point de vue, le corps de fonctions K devrait être déterminé par le deuxième quotient G_{K}^{ℓ}/[[G_{K}^{ℓ}, G_{K}^{ℓ}], G_{K}^{ℓ}] de la suite centrale descendante de G_{K}^{ℓ}. Dans leurs articles récents [6], [7], Bogomolov et Tschinkel fournissent des détails de cette démonstration dans le cas des corps de fonctions de certaines surfaces au-dessus de F̄_{p}. Certaines idées de Bogomolov ont inspiré Pop dans sa démonstration du théorème 1.3. Pour un complément intéressant, voir [34].

923-04

Cet aperçu ne serait pas complet si on ne mentionnait pas un résultat très important de Mochizuki [22] : il y est démontré que si K et L sont deux corps de type fini sur un corps k qui peut lui-même être plongé dans une extension de type fini de Q_{p} (Mochizuki appelle un tel corps sous-p-adique), alors tout G_{k}-morphisme G_{K} → G_{L} de groupes profinis à image ouverte est induit par un k-morphisme L → K de corps. Mochizuki dérive ce théorème de son résultat anabélien fondamental d’après lequel tout G_{k}-morphisme π_{1}(X) → π_{1}(Y) à image ouverte entre les groupes fondamentaux de deux k-courbes hyperboliques X et Y est induit par un k-morphisme dominant X → Y (voir l’exposé [13] de Faltings). La stratégie est alors la suivante (pour les détails, cf. [22], §§15, 16) : on montre d’abord que si K est le corps de fonctions de X, alors tout G_{k}-morphisme G_{K} → π_{1}(Y) se factorise à travers π_{1}(X), d’où on conclut aisément en utilisant le résultat précédent qu’il est induit par un morphisme Spec K → Y. Un argument (non trivial) de fibration en courbes permet alors d’en déduire un résultat similaire pour K corps de type fini quelconque sur k. Ensuite, étant donné un G_{k}-morphisme G_{K} → G_{L}, où L est le corps de fonctions de Y, on peut le composer par le G_{k}-morphisme naturel G_{L} → π_{1}(Y) et ainsi récupérer par ce qui précède le morphisme dominant Spec K → Y ; il se factorise à travers Spec L. Enfin, le résultat pour L général s’en suit à nouveau par un argument de fibration (facile cette fois).

Noter que dans cette preuve l’action de G_{k} joue un rôle essentiel ; la variante absolue du théorème, ainsi que son analogue en caractéristique positive, ne sont pas connues à ce jour.

3. STRATÉGIE

Nous donnons maintenant un survol parallèle des démonstrations des théorèmes 1.1 et 1.3, laissant les détails aux chapitres suivants. Nous ignorons ici les complications causées par les extensions inséparables en caractéristique positive.

On va appeller la situation du th. 1.1 le cas arithmétique et celle du th. 1.3 le cas géométrique. Le corps de base k est le corps premier de K dans le premier cas et sa clôture algébrique dans le second ; de même pour l et L.

Première étape : Correspondance locale. Soit X un k-schéma normal intègre de type fini ayant K pour corps de fonctions, et soit P un point de codimension 1 de X. Notons D_{P} un sous-groupe de décomposition de G_{K} (resp. G_{K}^{ℓ}) associé à P, i.e. le stabilisateur d’un point P̄ au-dessus de P du normalisé de X dans la clôture algébrique K̄ de K. Alors on montre que D_{Q} := Φ(D_{P}) est un groupe de décomposition associé à un point Q de codimension 1 d’un k-schéma normal intègre de type fini Y ayant L pour corps de fonctions. En plus, on obtient ainsi une bijection entre les sous-groupes de décomposition de G_{K} et de G_{L} (resp. leurs pro-ℓ-quotients) du type décrit ci-dessus.

923-05

On démontre ensuite que Φ transforme le sous-groupe d’inertie de D_{P} en celui de D_{Q}, d’où un isomorphisme Φ_{P} : G_{k(P)} → G_{k(Q)} entre les groupes de Galois des corps résiduels de P et de Q (resp. leurs pro-ℓ-quotients).

Les résultats locaux esquissés ci-dessus permettent déjà de reconstituer beaucoup d’invariants arithmétiques et géométriques des corps K et L. En particulier, dans le cas arithmétique, l’utilisation des résultats précédents permet d’établir que les corps de base k ⊂ K et l ⊂ L sont isomorphes, et que Φ transforme la projection canonique G_{K} → G_{k} en la projection G_{L} → G_{l}; par le théorème de Neukirch/Uchida, on a donc k ≅ l. Dans le cas géométrique ces deux projections sont bien entendu triviales.

Une fois la projection G_{K} → G_{k} (ou même la projection G_{K}^{ℓ} → G_{k}^{ℓ}) connue, il est possible de déduire le cas arithmétique du cas géométrique (cf. la remarque 8.6). On va opter pour ce procédé en caractéristique positive ; en revanche, en caractéristique 0 l’approche directe au th. 1.1 est plus simple.

Deuxième étape : Correspondance kummérienne. Soit maintenant n un entier positif que l’on suppose toujours premier à la caractéristique de K et de L; en plus, dans le cas géométrique, on suppose que c’est une puissance de ℓ.

Dans le cas arithmétique, le groupe G_{K} agit sur le groupe μ_{n} des racines n-ièmes de l’unité à travers son quotient G_{k} qui est préservé par Φ par ce qui précède ; dans le cas géométrique cette action est triviale. Donc, par application de la théorie de Kummer, on obtient une suite d’isomorphismes

K^{×}/K^{×n} ≅ H^{1}(G_{K}, μ_{n}) ≅ H^{1}(G_{L}, μ_{n}) ≅ L^{×}/L^{×n}

où K^{×} (resp. L^{×}) est le groupe multiplicatif de K (resp. L), les deux groupes au milieu sont des groupes de cohomologie galoisienne et leur isomorphisme est induit par Φ. Notons ici que Φ est également applicable dans le cas géométrique : comme l’action de G_{K} sur μ_{n} est triviale, les éléments de H^{1}(G_{K}, μ_{n}) sont alors des homomorphismes G_{K} → μ_{n}; ils se factorisent à travers G_{K}^{ℓ} car on a supposé que n est une puissance de ℓ.

Par passage à la limite projective sur les puissances de ℓ, on obtient également un isomorphisme

Φ^{(ℓ)} : K^{×(ℓ)} ≅ L^{×(ℓ)}

entre les complétés ℓ-adiques des groupes multiplicatifs des deux corps.

Le noyau du morphisme K^{×} → K^{(ℓ)} est le sous-groupe ℓ-divisible maximal de K^{×}. Dans le cas arithmétique on peut montrer que ce sous-groupe est trivial ; en revanche, dans le cas géométrique ce sous-groupe est égal à k^{×}.

Troisième étape : Récurrence. Dans le cas arithmétique, on dispose des résultats de Neukirch et Uchida sur les corps globaux classiques. Il est donc possible de les utiliser comme point de départ d’une récurrence sur le degré de transcendance commun de K et L (en effet, ce degré est lisible sur la dimension cohomologique de G_{K} ≅ G_{L}). En particulier, on peut supposer que les corps résiduels de deux points de codimension 1 P

923-06

et Q sur des modèles de K et L qui se correspondent par la bijection de la première étape sont isomorphes.

La combinaison de ces deux types d’information, à savoir les isomorphismes modulo P ainsi que l’isomorphisme des groupes multiplicatifs modulo n établi à l’étape précédente permet alors de construire un isomorphisme entre K et L par recollement , du moins en caractéristique zéro. Notons toutefois que l’argument contient plusieurs détails délicats, comme par exemple l’établissement d’une correspondance canonique entre les modèles géométriques suffisamment petits de K et de L (cf. le chap. 5).

En revanche, dans le cas géométrique une pareille récurrence n’est a priori possible qu’à partir du cas de degré de transcendance 2 (cf. la remarque 1.4 (2)), que l’on ne connaît pas à l’avance. Toutefois, la théorie locale fournit suffisamment d’informations sur les corps résiduels de points de codimension 1 dans ce cas pour que l’on puisse commencer une récurrence et caractériser, sinon l’image de K^{×}/k^{×} dans K^{×(ℓ)}, du moins son tensorisé par Z_{(ℓ)}, l’anneau des fractions rationnelles à dénominateur non divisible par ℓ.

Fin de la preuve dans le cas géométrique. Finalement, par des arguments géométriques astucieux (cf. le chap. 8), on arrive à caractériser K^{×}/k^{×} en tant que réseau entier dans son tensorisé par Z_{(ℓ)}. Pour terminer la preuve, regardons K^{×}/k^{×} comme l’espace projectif P(K) associé au k-espace vectoriel K (et de même pour L). On vérifie alors que la bijection ensembliste P(Φ) : P(K) ≅ P(L) dont on dispose préserve les droites. Une fois cela acquis, on peut appliquer le théorème fondamental de la géométrie projective qui dit que P(Φ) est induit par un isomorphisme K → L des espaces vectoriels sous-jacents. C’est alors un exercice facile de vérifier que cet isomorphisme est également multiplicatif.

Enfin, dans les deux cas, on vérifie que l’isomorphisme de corps ainsi obtenu s’étend à un isomorphisme de clôtures séparables induisant bien Φ sur les groupes de Galois, tel qu’il est écrit dans les th. 1.1 et 1.3.

4. VALUATIONS

Soit K un corps de type fini sur un corps parfait k. Appelons anneau de valuation divisoriel tout anneau de valuation discrète A ⊃ k de corps de fractions K et de corps résiduel κ satisfaisant à tr.deg(κ|k) = tr.deg(K|k) − 1. De même, appelons valuation divisorielle toute valuation discrète de K associée à un anneau de valuation divisoriel. Nous expliquons dans ce chapitre que dans la situation des th. 1.1 et 1.3 l’isomorphisme Φ induit une bijection entre les anneaux de valuation divisoriels de K et de L, ainsi que des isomorphismes sur les sous-groupes de décomposition et d’inertie associés.

Remarquons d’abord que les prolongements des valuations divisorielles de K à une clôture séparable (resp. à une pro-ℓ-extension maximale) correspondent bijectivement aux sous-groupes de décomposition qui leur sont associés dans G_{K} (resp. G_{K}^{ℓ}). Cela résulte

923-07

d’un théorème classique de F. K. Schmidt [35] d’après lequel un corps non-séparablement clos ne peut être muni que d’une seule valuation discrète hensélienne (voir [25], Lemma 8 pour la variante pro-ℓ ).

Or, dans le cas des corps globaux classiques, Neukirch a obtenu la caractérisation suivante des sous-groupes de décomposition comme ci-dessus : un sous-groupe D de G_{K} est groupe de décomposition si et seulement si étant donné un nombre premier p, le groupe de cohomologie galoisienne H^{2}(G, Z/pZ) est isomorphe à Z/pZ ou 0 pour tout sous-groupe ouvert G de D, selon la présence ou non des racines p-ièmes de l’unité dans le corps fixé par G. Cela se déduit après passage à la limite de la suite exacte d’Albert-Brauer-Hasse-Noether en théorie du corps de classes global. Dans son article [37], Michael Spiess démontre un analogue de ce critère pour K le corps de fonctions d’une courbe sur un corps de nombres, en se basant sur un principe de Hasse cohomologique de K. Kato.

Utilisant le principe de Hasse cohomologique de U. Jannsen (non publié à l’heure actuelle) pour une variété projective lisse sur un corps de nombres, il devrait être possible de prouver un critère similaire dans le cas d’un corps de type fini quelconque sur Q. Mais en fait, la caractérisation est possible en utilisant des outils moins élaborés.

Avant d’expliquer comment, rappelons quelques propriétés des valuations générales (comme références de base, voir [8] ou [10]). Par définition, une valuation (de Krull) sur un corps K est une application v : K → Γ_{v} ∪ {∞}, où Γ_{v} est un groupe abélien totalement ordonné, satisfaisant aux axiomes habituels : (1) v(x) = ∞ si et seulement si x = 0 ; (2) v(xy) = v(x) + v(y) ; et (3) v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) pour tout x, y ∈ K. L’ensemble des éléments à valuation non négative est un sous-anneau A_{v} de K, appelé l’anneau de valuation de v. C’est un anneau local de corps de fractions K; notons M_{v} son idéal maximal et κ(v) son corps résiduel. La dimension rr(Γ_{v}) (éventuellement infinie) du Q-espace vectoriel Γ_{v} ⊗ Q est appelée le rang (rationnel) de v. Dans le cas où K contient un sous-corps k sur lequel v est triviale, on a l’inégalité fondamentale :

tr.deg(K|k) ≥ rr(Γ_{v}) + tr.deg(κ(v)|k).

Les anneaux de valuation sont caractérisés par la propriété suivante : un anneau A de corps de fractions K est l’anneau de valuation d’une valuation de Krull si et seulement si tout x ∈ K \ A satisfait à x^{−1} ∈ A. De cette propriété on déduit immédiatement deux énoncés très utiles pour la suite. Le premier dit que si A ⊂ B sont des anneaux de valuation ayant même corps de fractions et si B domine A, alors A = B. Le deuxième est le suivant : si A est un anneau de valuation de corps de fractions K et corps résiduel κ, l’image réciproque dans A de tout anneau de valuation de κ est un anneau de valuation de K.

Comme dans le cas des valuations discrètes, si N|K est une extension galoisienne (finie ou infinie) et si w est une valuation prolongeant la valuation v, on définit le sousgroupe de décomposition D_{w} ⊂ Gal (N|K) associé à w comme le stabilisateur de w.

923-08

L’extension des corps résiduels κ(w)|κ(v) est quasi-galoisienne et le morphisme naturel D_{w} → Gal (κ(w)|κ(v)) est surjectif ; on définit le sous-groupe d’inertie I_{w} comme son noyau. Le groupe Γ_{w}/Γ_{v} est de torsion ; posons X_{w} := Hom(Γ_{w}/Γ_{v}, κ(w)^{×}). On dispose d’un morphisme naturel χ : I_{w} → X_{w} défini comme suit : on associe à σ ∈ I_{w} le caractère χ_{σ} défini par χ_{σ}(α) := σ(x)/x mod M_{w}, avec x ∈ N^{×} un élément arbitraire de valuation α. La caractère χ_{σ} est bien défini, car on vérifie immédiatement que σ(u)/u = 1 mod M_{w} si u est une unité de A_{w} ou un élément de K. On montre alors que le noyau P_{w} de χ : I_{w} → X_{w} est l’unique sous-groupe de (pro)-p-Sylow de I_{w}, où p est la caractéristique de κ(w) ; il est trivial pour p = 0. On appelle P_{w} le sous-groupe d’inertie sauvage et le quotient I_{w}^{mod} := I_{w}/P_{w} le groupe d’inertie modéré. Le groupe I_{w}^{mod} est donc abélien, isomorphe à Hom(Γ_{w}/Γ_{v}, κ(w)^{×}). En particulier :

Lemme 4.1. — Dans le cas où N est la pro-ℓ-extension maximale de K pour un ℓ ≠ p, le groupe I_{w} = I_{w}^{mod} est isomorphe à Z_{ℓ} si et seulement si Γ_{v}/ℓΓ_{v} ≅ Z/ℓZ.

Passons maintenant à la construction promise. Elle est basée sur les deux théorèmes remarquables que voici.

Théorème 4.2. — Soit ℓ ≠ 2 un nombre premier et F un corps satisfaisant à la condition [F^{×} : F^{×ℓ}] ≥ ℓ^{2}. Alors un sous-groupe D ⊂ G_{F}^{ℓ} est le sous-groupe de décomposition associé à une valuation (de Krull) w, avec ℓ premier à la caractéristique de κ(w) et Γ_{w}/ℓΓ_{w} ≠ 0, si et seulement si D admet un sous-groupe normal abélien non trivial.

Par la discussion précédente, la condition du théorème est nécessaire. La suffisance a été démontrée par Engler-Koenigsmann [11]. L’énoncé vaut également pour ℓ = 2 avec toutefois un cas exceptionnel : voir Efrat [9] et Engler-Nogueira [12]. Les démonstrations utilisent des constructions algébriques complètement explicites et élémentaires.

L’autre ingrédient essentiel est le suivant :

Théorème 4.3. — Soit K un corps de type fini sur un corps parfait k. Supposons k = Q où tr.deg(K|k) > 1. Alors G_{K} n’admet pas de sous-groupe normal fermé pro-résoluble non trivial. De même, G_{K}^{ℓ} n’admet pas de sous-groupe normal fermé abélien non trivial.

C’est une application du théorème d’irréductibilité de Hilbert. Pour le premier énoncé, voir [14], Theorem 15.10. Le deuxième découle du premier (cf. [28], Lemma 1.15).

Nous pouvons maintenant procéder au

Théorème 4.4. — Soient K, L et Φ comme le th. 1.1 ou le th. 1.3. Dans la situation du th. 1.1, on suppose de plus que K et L ne sont pas des corps globaux classiques. Alors Φ induit une bijection entre les valuations divisorielles de K et de L.

Nous ne donnons la preuve qu’en caractéristique positive ; pour des remarques concernant le cas de caractéristique 0, voir plus bas.

923-09

La démonstration va utiliser à un moment le th. 4.2 que nous n’avons énoncé que pour ℓ ≠ 2 ; on peut montrer en se basant sur les résultats de Efrat/Engler-Nogueira cités ci-dessus qu’il est également applicable pour ℓ = 2.

Démonstration. — Dans la situation du th. 1.1, choisissons un nombre premier ℓ premier à la caractéristique (que l’on suppose désormais positive), et passons à l’isomorphisme G_{K}^{ℓ} ≅ G_{L}^{ℓ} induit par Φ, que l’on va abusivement noter de la même façon.

Soit v une valuation divisorielle de K, et soit D_{w} ⊂ G_{K}^{ℓ} le groupe de décomposition associé à un prolongement w de v. D’après les rappels sur les valuations (en particulier le lemme 4.1), D_{w} est extension de G_{κ(v)}^{ℓ} par le sous-groupe d’inertie (modérée) I_{w} ≅ Z_{ℓ}. D’après le th. 4.3, I_{w} est donc l’unique sous-groupe normal abélien fermé maximal de D_{w}. Posons D := Φ(D_{w}). Il admet Φ(I_{w}) comme sous-groupe normal abélien non trivial, donc il est égal au groupe de décomposition D_{w′} d’une valuation de Krull w′ d’après le th. 4.2. Comme Φ(I_{w}) ≅ Z_{ℓ} est le sous-groupe normal abélien maximal de D_{w′}, il ne peut être que le sous-groupe d’inertie ; toujours d’après le lemme 4.1, la restriction v′ de w′ à L satisfait à Γ_{v′}/ℓΓ_{v′} ≅ Z/ℓZ. Ensuite, notons que v′ est nécessairement triviale sur la clôture algébrique l du corps premier (fini) dans L. On a alors tr.deg(L|l) = 1 + tr.deg(κ(v′)|l). Cela se vérifie en utilisant les théorèmes de transition de Tate en cohomologie galoisienne (cf. [36], §II.4) : ils nous apprennent en effet que les degrés de transcendance de L (resp. κ(v′)) se lisent sur la dimension cohomologique de G_{L}^{ℓ} (resp. G_{κ(v′)}^{ℓ}) et que ces dimensions cohomologiques diffèrent de 1. Enfin, par comparaison avec l’inégalité fondamentale tr.deg(L|l) ≥ rr(v′)+tr.deg(κ(v′)|l), on obtient rr(v′) = 1. Comme d’autre part Γ_{v′}/ℓΓ_{v′} ≅ Z/ℓZ, v′ est discrète.

Notons que la preuve donnée ci-dessus montre également que Φ induit un isomorphisme entre les sous-groupes de décomposition et d’inertie associés à w (resp. w′) dans G_{K}^{ℓ} (resp. G_{L}^{ℓ}), d’où également un isomorphisme G_{κ(v)}^{ℓ} ≅ G_{κ(v)}^{ℓ}.

En caractéristique 0, la situation est plus compliquée, car la valuation v′ construite ci-dessus pourrait être non triviale sur le corps de base l, et de caractéristique résiduelle positive. Dans la situation du th. 1, Pop surmonte cette difficulté (voir [28], pp. 163–170 pour les détails) en considérant simultanément tous les ℓ, en montrant que la valuation v′ obtenue ci-dessus ne dépend pas de ℓ et et que ses sous-groupes de décomposition et d’inertie dans G_{L} tout entier sont isomorphes à ceux de v via Φ. Ainsi, G_{κ(v)} ≅ G_{κ(v′)} ; en particulier, la ℓ-dimension cohomologique de κ(v′) est > 1 pour tout nombre premier ℓ, donc κ(v′) ne peut être que de caractéristique 0. On montre alors de la même façon que v′ est divisorielle. La cas de caractéristique 0 du th. 1.3 est encore plus compliqué et utilise la théorie des éléments d’inertie (cf. le chap. 9) ; nous ne le discutons pas ici.

Voici une application, annoncée au chapitre précédent.

Proposition 4.5. — Soient K, L deux corps de type fini sur Q, soit Φ : G_{K} →^{∼} G_{L} un isomorphisme comme dans le th. 1.1, et soit k (resp. l) la clôture algébrique du corps

923-10

premier dans K (resp. L). Alors Φ transforme la projection G_{K} → G_{k} en la projection G_{L} → G_{l}.

Démonstration. — Soit X une k-variété projective lisse géométriquement intègre ayant K comme corps de fonctions (une telle X existe d’après le théorème de désingularisation de Hironaka), et soit H_{X} le sous-groupe fermé de G_{K} engendré par les sous-groupes d’inertie associés aux points de codimension 1 de X. Comme X est régulier, la description du groupe fondamental d’un schéma normal jointe au théorème de Zariski sur la pureté du lieu de ramification (cf. [16], exposé X) montrent que le quotient G_{K}/H_{X} est isomorphe au groupe fondamental de X. Mais ce dernier groupe est extension de G_{k} par le groupe fondamental de X ×_{k} k̄, où k̄ ⊃ k est une clôture algébrique ; on sait que ce dernier groupe est topologiquement de type fini (voir [15]). Ainsi, si maintenant H_{K} est le sous-groupe fermé de K engendré par les sous-groupes d’inertie de toutes les valuations divisorielles, on obtient que Π_{K} := G_{K}/H_{K} est extension de G_{k} par un sous-groupe fermé F_{K} topologiquement de type fini. Procédant de façon analogue pour L, on construit des groupes H_{L}, Π_{L} et F_{L}. D’après le th. 4.4, Φ induit des isomorphismes H_{K} ≅ H_{L} et Π_{K} ≅ Π_{L}. Mais Φ(F_{K}) ⊂ F_{L}, car G_{l} n’admet pas de sous-groupes normaux fermés non triviaux qui sont topologiquement de type fini (à nouveau par le théorème d’irréductibilité de Hilbert, cf. [14], th. 15.10). D’où Φ(F_{K}) = F_{L} par symétrie, et la proposition est établie.

Nous disposons donc un isomorphisme G_{k} ≅ G_{l}; le théorème de Neukirch-Uchida cité au chap. 2 permet d’en déduire l’existence d’un isomorphisme k ≅ l.

Conformément à la stratégie du chapitre précédent, nous allons utiliser la proposition ci-dessus dans la preuve du th. 1.1 en caractéristique 0. En revanche, en caractéristique positive nous ne démontrons ici que l’énoncé plus faible ci-dessous, ce qui est déjà suffisant pour déduire le th. 1.1 du th. 1.3 (voir la remarque 8.6).

Proposition 4.6. — Soient K, L deux corps de type fini sur un corps fini, k et l comme dans la proposition précédente, et soit Φ : G_{K}^{ℓ} → G_{L}^{ℓ} un isomorphisme avec ℓ premier à la caractéristique de K et L. Alors Φ transforme la projection G_{K}^{ℓ} → G_{k}^{ℓ} en la projection G_{L}^{ℓ} → G_{l}^{ℓ}.

Démonstration. — Prenons pour X une k-variété lisse (non nécessairement projective), géométriquement intègre, de corps de fonctions K. Comme ci-dessus, le pro-ℓ-quotient maximal π_{1}^{ℓ}(X) du groupe fondamental de X est le quotient de G_{K}^{ℓ} par un sous-groupe normal fermé H_{X}. Or d’après un théorème de Katz et Lang [20], l’abélianisé π_{1}^{ab ,ℓ}(X) est extension de G_{k}^{ℓ} ≅ Z_{ℓ} par un ℓ-groupe fini. Le noyau de la projection π_{1}^{ab ,ℓ}(X) → G_{k}^{ℓ} n’est donc autre que le sous-groupe de torsion de π_{1}^{ab ,ℓ}(X). On termine la preuve de manière similaire au cas précédent, en remarquant que la preuve du th. 4.4 a permis de répérer les sous-groupes de décomposition des points de codimension 1 déjà dans G_{K}^{ℓ}.

923-11

On peut montrer que k et l ont même cardinalité par un argument de récurrence sur la dimension se basant sur les estimations de Hasse-Weil sur le nombre de points des courbes sur un corps fini (voir [32], chap. 2) ; nous n’aurons pas besoin de ce résultat.

5. MODÈLES

Soient k un corps parfait et K une extension de type fini de k. Appelons modèle de K|k toute k-variété (i.e. k-schéma intègre de type fini) X dont le corps de fonctions est isomorphe à K. Dans la suite, on identifie souvent les anneaux locaux de X à des sous-anneaux de K contenant k.

On a vu au chapitre 4 que si K est comme dans le th 1.1 (resp. le th. 1.3), l’ensemble des anneaux de valuation divisoriels ayant K pour corps de fractions est encodé dans G_{K} (resp. dans son pro-ℓ-quotient maximal pour ℓ premier à la caractéristique de K). Évidemment, l’anneau local d’un modèle normal de X en un point de codimension 1 est un tel anneau. Réciproquement, étant donné un anneau de valuation divisoriel A ⊂ K, c’est un exercice facile de construire un modèle normal de K dont A est un anneau local.

Lorsque tr.deg(K|k) = 1, tout anneau de valuation divisoriel est un anneau local de l’unique modèle propre et normal de K|k. Mais en dimension supérieure, un tel modèle n’est pas unique.

La tâche suivante est donc la caractérisation des ensembles d’anneaux de valuation divisoriels provenant d’un seul modèle normal X de K lorsque tr.deg(K|k) > 1. L’exemple type d’un anneau de valuation divisoriel ne provenant pas de X s’obtient comme suit : éclatons un point P de codimension > 1 du k-schéma X et prenons l’anneau local du schéma éclaté à un point générique du diviseur exceptionnel. Heureusement, lorsque P est un point régulier, le corps résiduel de cet anneau possède une propriété géométrique particulière qui va nous permettre de le distinguer : il est le corps de fonctions du diviseur exceptionnel qui est un fibré projectif dans ce cas – en particulier, c’est une variété qui contient beaucoup de courbes rationnelles (i.e. birationnelles, après passage à la clôture algébrique du corps de base, à la droite projective). Pop considère alors la notion suivante :

Définition 5.1. — Une variété X est dite antiréglée si l’ensemble des points des courbes rationnelles contenues dans X n’est pas Zariski dense.

Remarque 5.2. — On a la relation suivante à des classes de variétés plus souvent étudiées en géométrie algébrique. Rappelons (cf. [21], Proposition IV.1.3) qu’une variété est uniréglée si, après changement de base à un corps algébriquement clos non dénombrable, elle admet un ouvert dense dont chaque point est contenu dans une courbe rationnelle. Mais, comme nous fait remarquer J.-L. Colliot-Thélène, il existe des variétés non uniréglées qui ne sont pourtant pas antiréglées : prendre, par exemple, une surface K3 complexe admettant une fibration au-dessus de la droite projective dont la fibre générique est

923-12

une courbe elliptique sur C(t) ayant une infinité de points rationnels ; la surface contient alors une infinité de courbes rationnelles, mais pas d’ouvert dense couvert par ces courbes. Ainsi, être antiréglé est une notion plus forte que d’être non uniréglé.

On vérifie immédiatement, en se servant du théorème de Lüroth, la propriété suivante.

Lemme 5.3. — Soit Y −−→ X une application rationnelle dominante et génériquement finie de k-variétés. Alors si X est antiréglée, il en est de même pour Y. En particulier, être antiréglé est une propriété birationnelle.

Le deuxième énoncé du lemme permet en particulier d’introduire les notions suivantes.

Définition 5.4. — Un corps de type fini sur k est dit antiréglé s’il est le corps de fonctions d’une k-variété antiréglée. L’anneau local d’un point d’un k-schéma de type fini est antiréglé si son corps résiduel l’est.

Nous aurons également besoin du lemme suivant :

Lemme 5.5. — Soit K un corps de type fini sur k. Alors il existe une extension finie K′|K, avec K′ un corps antiréglé. On peut même supposer que le degré [K′ : K] est une puissance d’un nombre premier ℓ donné.

Démonstration. — Si K est non antiréglé, une construction simple est la suivante. Soit X un modéle de K|k. On peut supposer X affine, équipé d’un morphisme fini X → A^{n} par le lemme de normalisation de Noether. Or A^{n} admet beaucoup de revêtements finis antiréglés de degré une puissance de ℓ: prendre, par exemple, un produit Z = C_{1}×⋯×C_{n} de n courbes lisses, affines, munies de projections C_{i} → A^{1} de degré une puissance de ℓ, et dont le compactifié est de genre positif ; on vérifie en utilisant le théorème de Lüroth que Z est antiréglé (en fait, il ne contient point de courbe rationnelle). On peut alors prendre pour K′ le corps de fonctions d’une composante du produit fibré X ×_{A^{n}} Z qui domine Z; celle-ci est antiréglée d’après le lemme 5.3.

Après ces préparations, on peut procéder à la caractérisation promise. D’abord une terminologie : on dit que deux ensembles S et T sont presque égaux si les différences S \ (S ∩ T) et T \ (S ∩ T) sont finies.

Définition 5.6. — Soit K un corps de type fini sur le corps parfait k. Notons D_{K} l’ensemble des anneaux de valuation divisoriels dont le corps de fractions est K. On appelle un sous-ensemble S ⊂ D_{K} géométrique s’il est presque égal à l’ensemble des anneaux locaux des points de codimension 1 d’un modèle normal de K|k.

Remarque 5.7. — Dans la définition ci-dessus, on peut même supposer que le modèle normal en question est propre. En effet, si U est un modèle normal de K|k, on peut le réaliser comme sous-schéma ouvert d’un modèle normal propre X (normaliser une compactification de Nagata). Le complément X \ U est un fermé propre, donc ne contient qu’un nombre fini de points de codimension 1.

923-13

On a le lemme suivant :

Lemme 5.8. — Si K′|K est une extension finie de K, un sous-ensemble U ⊂ D_{K} est géométrique si et seulement si l’ensemble U′ formé des éléments A′ ∈ D_{K′} satisfaisant à A′ ∩ K ∈ U l’est.

C’est évident (si U est géométrique, normaliser un modèle normal correspondant à U dans K′; la réciproque est similaire).

Vient alors le point clef :

Proposition 5.9. — Soit K un corps de type fini antiréglé sur le corps parfait k, avec tr.deg(K|k) > 1. Alors un sous-ensemble S ⊂ D_{K} est géométrique si et seulement si il est presque égal au sous-ensemble de D_{K} constitué par les anneaux de valuation divisoriels antiréglés.

Démonstration. — Soit X un modèle normal de K|k. Remarquons d’abord que comme X est antiréglé, il n’admet qu’un nombre fini de points de codimension 1 dont l’anneau local n’est pas antiréglé. Ceci est dû au fait que par hypothèse l’adhérence des courbes rationnelles dans X est un sous-schéma fermé propre.

Ainsi, tenant compte de la remarque 5.7, il suffit de démontrer que si X est propre et A est un élément antiréglé de D_{K}, alors A est l’anneau local d’un point de codimension 1 de X. Pour ce faire, traitons d’abord le cas où X est régulier. Comme X est également supposé propre, A domine l’anneau local O_{X,x} d’un point x de X par le critère valuatif de propreté. Si x est de codimension 1, O_{X,x} est un anneau de valuation discrète et on a nécessairement A = O_{X,x}. Sinon, éclatons x; alors A domine l’anneau local d’un point x̃ du schéma éclaté X̃ contenu dans le diviseur exceptionnel. D’après un lemme classique de Zariski (cf. [41], Theorem 10 pour le cas typique de dimension 2), en répétant ce procédé un nombre fini de fois, on arrive à un point de codimension 1. Mais il est alors point générique du diviseur exceptionnel provenant de l’éclatement d’un point régulier. Son anneau local est donc non antiréglé (en fait uniréglé), ce qui contredit le choix de A.

Dans le cas général, on peut trouver, d’après le théorème d’altération de de Jong ([19], [3]), une variété projective lisse Y équipée d’un morphisme propre dominant génériquement fini π : Y → X. Or Y est antiréglée en vertu du lemme 5.3, donc le cas précédent s’y applique. On conclut par le lemme 5.8 et par la remarque que π étant dominant, son image contient les points de codimension 1 de X sauf pour un nombre fini.

Nous arrivons maintenant à la caractérisation des ensembles géométriques.

Théorème 5.10. — Soient K|k, L|l et Φ comme dans les théorèmes 1.1 ou 1.3. Alors Φ induit une bijection entre les sous-ensembles géométriques de D_{K} et D_{L}.

Démonstration. — L’énoncé est évident lorsque tr.deg(K|k) = tr.deg(L|l) = 1 : les ensembles géométriques sont les sous-ensembles cofinis de D_{K}.

923-14

Supposons donc tr.deg(K|k) = tr.deg(L|l) > 1. D’après le lemme 5.8, il suffit de démontrer l’énoncé après passage à un sous-groupe ouvert dans G_{K} ≅ G_{L} (resp. G_{K}^{ℓ} ≅ G_{L}^{ℓ}), i.e. à des extensions finies de K et L. En vertu des lemmes 5.3 et 5.5, on peut supposer K et L antiréglés, et le théorème résulte alors de la proposition précédente et du fait que la bijection du th. 4.4 envoie les éléments antiréglés de D_{K} sur ceux de D_{L}. Dans la situation du th. 1.3, ce dernier fait sera vérifié pour tr.deg(K|k) = tr.deg(L|l) = 2 dans la remarque 9.5 (2). Dans tous les autres cas, on peut supposer par récurrence sur le degré de transcendance que Φ induit un isomorphisme sur les corps résiduels, d’où le résultat.

6. RÉCURRENCE

Une bonne partie des démonstrations des th. 1.1 et 1.3 procède par récurrence sur le degré de transcendance commun des corps K et L. Dans la situation du th. 1.1, le point de départ est le cas des corps globaux classiques, où le résultat est connu d’après les travaux de Neukirch et Uchida cités au chap. 2. Dans la situation du th. 1.3, la récurrence part du cas de degré de transcendance 2.

L’idée de la récurrence (déjà utilisée dans la dernière preuve ci-dessus) est la suivante : si A est un élément de D_{K} et A′ ∈ D_{L} l’anneau que lui correspond par la bijection établie au chap. 4, on peut supposer (sauf dans le cas exceptionnel tr.deg(K|k) = tr.deg(L|l) = 2 du th. 1.3) par récurrence que leurs corps résiduels sont isomorphes, car ils ont un degré de transcendance inférieur à celui de K et L. On peut alors essayer de relever et recoller ces isomorphismes en un isomorphisme entre K et L. Dans le cas où K et L sont de type fini sur Q, c’est possible ; dans les autres cas on n’obtient qu’un résultat partiel.

Pour construire des relèvements, on exploite les résultats géométriques du chapitre précédent. Nous adaptons ici des arguments de l’article de Michael Spieß [37].

Soit donc K un corps de type fini sur un corps parfait k; on peut supposer k algébriquement clos dans K. Par ce qui précède, on peut se borner aux cas où tr.deg(K|k) > 1 ainsi qu’au cas où tr.deg(K|k) = 1 et k est un corps de nombres.

Lemme 6.1. —

(1) Soit U un modèle normal de K|k. Alors O^{×}(U)/k^{×} est un groupe abélien libre de type fini, où O^{×}(U) est l’anneau des fonctions régulières inversibles sur U.

(2) Il existe un ensemble fini P_{1}, …, P_{m} de points de codimension 1 de U tel que le morphisme de réduction naturel vers les corps résiduels

O^{×}(U) → ⨁_{i=1}^{m} κ(P_{i})^{×}

soit injectif.

923-15

Démonstration. — Soit X un modèle propre normal de K|k dont U est un sous-schéma ouvert. Alors on dispose d’une suite exacte

0 → O^{×}(X) → O^{×}(U) → Div_{X\U}(X)

où Div_{X\U}(X) est le groupe abélien (libre de type fini) des diviseurs de Weil concentrés sur X \ U. Comme X est propre, et également géométriquement connexe d’après l’hypothèse sur K|k, on a O^{×}(X) ≅ k^{×}, d’où le premier énoncé.

Pour le second, soit d’abord P_{1} un point de codimension 1 quelconque de U. Notons C_{1} le noyau de la réduction O^{×}(U) → κ(P_{1})^{×}. Évidemment C_{1} ∩ k^{×} = {1}, donc C_{1} est libre de type fini. Soit x un générateur de C_{1}. Choisissons le point P_{2} ≠ P_{1} de sorte que l’image x̄ de x dans κ(P_{2}) soit différente d’une racine de l’unité (dans le cas où tr.deg(κ(P_{2})|k) > 0 on peut même prendre x̄ transcendant sur k). Alors le noyau C_{2} du morphisme O^{×}(U) → κ(P_{1})^{×}⊕κ(P_{2})^{×} a un rang plus petit que celui de C_{1}. En continuant ce procédé, on arrive à un noyau trivial en temps fini.

Nous pouvons maintenant démontrer le th. 1.1 en caractéristique 0.

Théorème 6.2. — Soient K, L deux corps de type fini sur Q. Supposons qu’il existe un isomorphisme Φ : G_{K} →^{∼} G_{L} de groupes profinis. Alors il existe un isomorphisme ϕ : L →^{∼} K de corps induisant Φ.

Démonstration. — Si tr.deg(K|Q) = tr.deg(L|Q) = 0, c’est le théorème de Neukirch-Uchida cité au chap. 2. Supposons donc le théorème connu pour les corps de degré de transcendance plus petit que tr.deg(K|Q).

Soit U un modèle normal de K|k. D’après le th. 5.10, quitte à remplacer U par un ouvert, on peut supposer que Φ induit une bijection entre les points de codimension 1 de U et ceux d’un modèle normal U′ de L. Soit P_{1}, …, P_{m} un ensemble de points de U comme dans le lemme précédent et soit P′_{i} (i = 1, …, m) le point de U′ correspondant à P_{i} par la bijection induite par Φ. Quitte à agrandir l’ensemble des P_{i} (ce qui n’affecte pas l’injectivité du morphisme O^{×}(U) → ⊕ κ(P_{i})^{×}), on peut supposer que le morphisme O^{×}(U′) → ⊕ κ(P′_{i})^{×} est également injectif.

Nous voulons maintenant définir un morphisme ϕ_{U} : O^{×}(U) → O^{×}(U′) rendant le diagramme

O^{×}(U) ⟶^{ϕ_{U}} O^{×}(U′)
r↓  ↓_{r′}
⨁_{i=1}^{m} κ(P_{i})^{×} ⟶^{≅} ⨁_{i=1}^{m} κ(P′_{i})^{×}

commutatif, où le morphisme du bas est un isomorphisme par l’hypothèse de récurrence. Comme les morphismes verticaux sont injectifs, ϕ_{U} est alors nécessairement un isomorphisme. Pour l’existence de ϕ_{U}, il suffit de montrer que le morphisme naturel ψ_{U} : O^{×}(U) → coker (r′) induit par les morphismes connus du diagramme est trivial.

923-16

Or d’après l’argument de théorie de Kummer expliqué au chap. 3, on dispose pour tout n > 0 des isomorphismes compatibles K^{×}/K^{×n} ≅ L^{×}/L^{×n}. D’autre part, la suite exacte

0 → O^{×}(U) → K^{×} → Div (U)

implique que le morphisme naturel O^{×}(U)/n → K^{×}/n est injectif (car Div (U) est sans torsion). Ainsi, par fonctorialité des isomorphismes de Kummer, on dispose de morphismes compatibles ϕ_{U,n} : O^{×}(U)/n → O^{×}(U′)/n rendant le diagramme

O^{×}(U)/n ⟶^{ϕ_{U,n}} O^{×}(U′)/n
r_{n}↓  ↓^{r′_{n}}
⨁_{i=1}^{m} κ(P_{i})^{×}/n ⟶^{≅} ⨁_{i=1}^{m} κ(P′_{i})^{×}/n

commutatif. Par conséquent, l’image du morphisme ψ_{U} défini ci-dessus est contenu dans le sous-groupe divisible de coker (r′). Mais ce dernier sous-groupe est trivial, car coker (r′), étant le conoyau du morphisme O^{×}(U′)/k^{×} → ⊕ κ(P′_{i})^{×}/k^{×}, est le quotient d’un groupe libre (somme directe des groupes des diviseurs principaux sur des modèles propres des κ(P′_{i})) par un sous-groupe libre de type fini – il est donc extension d’un groupe libre par un groupe fini.

Ergo habemus ϕ_{U}. On vérifie immédiatement qu’en prenant U de plus en plus petit, les isomorphismes ϕ_{U} ainsi obtenus sont compatibles, d’où un isomorphisme K^{×} →^{∼} L^{×} car tout élément de K^{×} définit une fonction régulière sur U suffisamment petit. Enfin, en considérant l’image d’éléments x, y, x + y ∈ K arbitrairement choisis dans une infinité de κ(P), on vérifie (en utilisant l’hypothèse de récurrence) qu’en rajoutant les éléments 0 on obtient une bijection additive.

En examinant la preuve donnée ci-dessus, on voit que le seul obstacle qui l’empêche de s’appliquer à la situation du th. 1.3 est que là, on ne connaît la correspondance de Kummer que pour n une puissance du nombre premier ℓ. (Il y a un problème similaire dans le cas du th. 1.1 en caractéristique positive, où n doit être supposé premier à la caractéristique.) Or le conoyau de r′ peut très bien contenir des éléments ℓ-divisibles non triviaux, à savoir les éléments d’un sous-groupe fini d’ordre premier à ℓ. Mais l’on peut tuer ce sous-groupe en tensorisant avec Z_{(ℓ)}, le localisé de Z en (ℓ). Ainsi, dans la situation du th. 1.3, en supposant tr.deg(K|k) > 2 et le résultat connu pour les corps de degré de transcendance plus petit, on peut au moins déduire l’existence d’un isomorphisme de

Z_{(ℓ)}-modules ϕ_{ℓ} : K^{×} ⊗ Z_{(ℓ)} →^{∼} L^{×} ⊗ Z_{(ℓ)}.

Mais en fait, pour mener à bien la preuve du th. 1.3, on peut se contenter d’un énoncé un peu plus faible. Au chapitre 9, nous allons donner des indications sur la caractérisation de l’image de K^{×}/k^{×} ⊗ Z_{(ℓ)} dans K^{×(ℓ)} dans le cas tr.deg(K|k) = 2. Admettons pour le moment que l’on connaît ce résultat. Alors on peut mettre en marche la récurrence précédente et l’on obtient :

923-17

Proposition 6.3. — Soient K, L, Φ comme dans le théorème 1.3. Alors (quitte à passer à des extensions purement inséparables en caractéristique positive) il existe un isomorphisme de Z_{(ℓ)}-modules

ϕ_{ℓ} : (K^{×}/k^{×}) ⊗ Z_{(ℓ)} →^{∼}(L^{×}/l^{×}) ⊗ Z_{(ℓ)}

s’insérant dans le diagramme commutatif :

(K^{×}/k^{×}) ⊗ Z_{(ℓ)} ⟶^{≅} (L^{×}/l^{×}) ⊗ Z_{(ℓ)}
↓  ↓
K^{×(ℓ)}  ⟶^{≅}  L^{×(ℓ)}

7. PROJECTIONS

Dans ce chapitre et le suivant, nous complétons la démonstration du th. 1.3 (modulo le résultat pour tr.deg(K|k) = 2 admis au chapitre précédent). Cette partie de la démonstration utilise plusieurs idées remontant au travail [5] de Bogomolov ; outre les textes de Pop, la consultation de [7] nous a été très utile lors de la rédaction de ces deux chapitres.

Dans la démonstration, un outil de première importance est la considération des quotients de G_{K}^{ℓ} et G_{L}^{ℓ} correspondant à des morphismes d’un modèle propre normal de K (resp. L) vers la droite projective. Dans ce chapitre, nous étudions ces quotients.

Appelons une fonction x ∈ K générale si le sous-corps k(x) est algébriquement clos dans K. La signification géométrique de cette définition est la suivante. Soit X|k un modèle projectif normal de K|k. La fonction x induit une application rationnelle π_{x} : X → P_{k}^{1} définie en codimension 1 ; quitte à éclater X, on peut donc supposer que π_{x} est un morphisme.

Lemme 7.1. — Dans la situation ci-dessus, supposons en plus que le morphisme π_{x} est séparable. Alors x est une fonction générale si et seulement si les fibres de π_{x} sont connexes.

Démonstration. — Comme X est supposé projectif, le morphisme π_{x} : X → P_{k}^{1} se factorise en un composé X →^{c_{x}} C →^{f_{x}} P_{k}^{1}, où f_{x} est fini et les fibres de c_{x} sont connexes, d’après le théorème de factorisation de Stein. Le morphisme séparable f_{x} est un isomorphisme si et seulement si x est une fonction générale, d’où le lemme.

Toute projection π_{x} : X → P_{k}^{1} suffisamment générale (au sens de la géométrie algébrique) est à fibres connexes, ce qui explique la terminologie. D’autre part, utilisant cette remarque on montre facilement que les fonctions générales engendrent l’extension K|k.

Le groupe de Galois G_{k(x)}^{ℓ} est de façon naturelle quotient du groupe G_{K}^{ℓ} (rappeler que nous sous-entendons qu’une clôture séparable de K a été fixée). Notre objectif suivant est de montrer que l’isomorphisme Φ du th. 1.3 respecte ce type de quotients.

Commençons par montrer que Φ induit une bijection entre les quotients de G_{K}^{ℓ} et G_{L}^{ℓ} provenant de sous-corps algébriquement clos dans K (resp. L) de degré de transcendance 1.

923-18

Proposition 7.2. — Soit t une fonction (non nécessairement générale) de K, et soit T la clôture algébrique de k(t) dans K. Notons N_{T} le noyau de la projection G_{K}^{ℓ} → G_{T}^{ℓ}. Alors il existe un sous-corps T′ ⊂ L, de degré de transcendance 1 sur le corps des constantes l ⊂ L, donnant lieu à un diagramme commutatif :

G_{L}^{ℓ} ⟶ G_{L}^{ℓ}/Φ(N_{T})
↓^{=}  ↓≅
G_{L}^{ℓ} ⟶  G_{T′}^{ℓ}

Avant de démontrer la proposition, rappelons quelques faits bien connus sur le symbole modéré : pour un corps F muni d’une valuation discrète v, c’est le morphisme de groupes ∂_{v} : F^{×} × F^{×} → κ(v)^{×} qui associe à un couple (f, g) l’image de (−1)^{v(f)v(g)}f^{v(g)}/g^{v(f)} dans κ(v)^{×}. De plus, on a un diagramme commutatif

F^{×(ℓ)} × F^{×(ℓ)} ⟶^{∂_{v}} κ(v)^{×(ℓ)}
↓  ↓
H^{2}(G_{F}^{ℓ} , Z_{ℓ}) ⟶ H^{1}(G_{κ(v)}^{ℓ}, Z_{ℓ})

où les morphismes verticaux proviennent de la théorie de Kummer (suivie d’un cupproduit pour le morphisme de gauche) et le morphisme horizontal du bas est un morphisme résidu en cohomologie galoisienne (voir l’appendice à la partie II de [36]). Les groupes de cohomologie à coefficients dans Z_{ℓ} sont définis ici par passage à la limite projective à partir de ceux à coefficients Z/ℓ^{m}Z.

Démonstration. — Le groupe H^{1}(G_{T}^{ℓ} , Z_{ℓ}) s’identifie à un sous-groupe de H^{1}(G_{K}^{ℓ}, Z_{ℓ}). D’après le théorème de Tsen, G_{T}^{ℓ} est de dimension cohomologique 1, donc le produit H^{1}(G_{T}^{ℓ} , Z_{ℓ}) × H^{1}(G_{T}^{ℓ} , Z_{ℓ}) est annulé par le cup-produit

H^{1}(G_{K}^{ℓ}, Z_{ℓ}) × H^{1}(G_{K}^{ℓ}, Z_{ℓ}) → H^{2}(G_{K}^{ℓ}, Z_{ℓ}).

Il en est alors de même pour le sous-groupe H^{1}(G_{K}^{ℓ}/Φ(N_{T}), Z_{ℓ}) ⊂ H^{1}(G_{L}^{ℓ}, Z_{ℓ}) ≅ L^{×(ℓ)}. Considérons les éléments de Φ(K^{×} ⊗ Z_{(ℓ)}) = L^{×} ⊗ Z_{(ℓ)} ⊂ L^{×(ℓ)} contenus dans ce sousgroupe. Il s’agit de montrer qu’ils proviennent tous d’éléments de L^{×} qui sont algébriquement dépendants sur l. Or, si f, g sont deux éléments non constants de L qui sont algébriquement indépendants, alors leurs images dans H^{1}(G_{L}^{ℓ}, Z_{ℓ}) ont un cup-produit non trivial. Ce dernier fait se vérifie, par exemple, en utilisant le symbole modéré. En effet, on voit aisément qu’il existe une valuation discrète v de L telle que ∂_{v}(f, g) ≠ 1 (on peut prendre pour v la valuation divisorielle provenant d’un point générique du diviseur de f sur un modèle propre et normal de L; alors v(f) > 0, mais v(g) = v(g − 1) = 0, cf. [7], Lemma 10.1). On conclut par le diagramme ci-dessus que le cup-produit des classes de f et g dans H^{1}(G_{L}^{ℓ}, Z_{ℓ}) a un résidu non trivial, donc il est lui-même non trivial.

Soit maintenant T ⊂ K un sous-corps de degré de transcendance 1 comme ci-dessus. Prenons des modèles projectifs normaux X et C de K|k et de T |k, respectivement. Quitte

923-19

à éclater X, on peut supposer que l’inclusion T ⊂ K est induite par un morphisme (nécessairement surjectif) π : X → C. En particulier, tout point fermé de C est l’image d’un point de codimension 1 de X. Ces points donnent lieu à des sous-groupes d’inertie canoniques dans les abélianisés G_{T}^{ab ,ℓ} et G_{K}^{ab ,ℓ}, respectivement, et en plus, tout sous-groupe d’inertie dans G_{K}^{ab ,ℓ} associé à un point P de C est l’image du sous-groupe d’inertie associé à un point de codimension 1 dans π^{−1}(P). D’après la proposition précédente, T correspond par l’isomorphisme Φ à un sous-corps T′ ⊂ L, de degré de transcendance 1. Une application du th. 4.4 (aux corps K et L) et la discussion précédente montrent alors que Φ envoie isomorphiquement les sous-groupes d’inertie contenus dans G_{T}^{ab ,ℓ} sur ceux de G_{T′}^{ab ,ℓ}.

Soit I_{T} le sous-groupe fermé de G_{T}^{ab ,ℓ} engendré par les sous-groupes d’inertie. Le quotient G_{T}^{ab ,ℓ}/I_{T} est isomorphe au pro-ℓ-quotient abélien maximal π_{1}^{ab ,ℓ}(C) du groupe fondamental de la courbe C. On sait (cf. la remarque 1.4 (2)) que c’est un pro-ℓ-groupe abélien libre dont le rang est le double du genre g de C. Ainsi, si C′ est la courbe propre lisse correspondant au corps T′ défini ci-dessus, la discussion précédente implique que C et C′ ont même genre ; en particulier, C est rationnelle si et seulement si C′ l’est. Donc nous avons finalement démontré :

Corollaire 7.3. — Soit x une fonction générale de K définissant un sous-corps k(x) algébriquement clos dans K. Alors il existe une fonction générale y ∈ L telle que l’on ait Φ(G_{k(x)}^{ℓ}) = G_{l(y)}^{ℓ}.

Concentrons-nous maintenant sur le sous-groupe I_{T}. Soit (i_{1}, …, i_{r}) ⊂ I_{T} une famille de générateurs de sous-groupes d’inertie associés à des points fermés P_{1}, …, P_{r} de C. Notons U la sous-courbe ouverte de C obtenue en enlevant les points fermés P_{j} et I_{U} le sous-groupe fermé de I_{T} engendré par les i_{j}. Alors I_{U} est exactement le noyau de la projection canonique π_{1}^{ab ,ℓ}(U) → π_{1}^{ab ,ℓ}(C), donc, par la structure de π_{1}(U) rappelée dans la remarque 1.4 (2), il admet la présentation < i_{1}, …, i_{r}| ∑ i_{j} = 0 > comme pro-ℓ-groupe abélien (où nous avons employé la notation additive dans π_{1}^{ab ,ℓ}(U)). De là on déduit que le pro-ℓ-groupe abélien I_{T} admet la présentation I_{T} =< i_{P} | ∑ i_{P} = 0 >, où P parcourt l’ensemble des points fermés de C. Cette présentation implique que si (j_{P}) est une autre famille d’éléments de I_{T} indexée par les points fermés de C telle que ∑ j_{P} = 0, on a nécessairement i_{P} = εj_{P} pour tout P avec une unité ℓ-adique ε ne dépendant pas de P. Ceci s’applique en particulier à toute famille de générateurs des sous-groupes d’inertie associés aux points fermés de C.

Soit Div^{0}(C) le groupe des diviseurs de degré 0 sur C. Toute famille I = (i_{P}) de générateurs de sous-groupes d’inertie définit un plongement naturel

j_{I} : Div^{0}(C) → Hom_{Z_{ℓ}}(I_{T} , Z_{ℓ})

de la façon suivante : soit d’abord F le pro-ℓ-groupe abélien libre engendré par les i_{P}. On définit un morphisme Div (C) → Hom_{Z_{ℓ}}(F, Z_{ℓ}) en associant à un point fermé P le morphisme qui envoie i_{P} sur 1 et les autres générateurs sur 0. Il suffit alors de noter que

923-20

D ∈ Div (C) s’applique à un morphisme F → Z_{ℓ} qui passe au quotient dans I_{T} si et seulement si D ∈ Div^{0}(C). Par ce qui précède, le morphisme j_{I} dépend de I mais les images de deux tels morphismes sont les mêmes à multiplication par une unité ℓ-adique près.

Supposons maintenant que T = k(x) est le corps de fonctions rationnelles engendré par une fonction générale x. Alors on a les identifications I_{T} = G_{K}^{ab ,ℓ}, C ≅ P^{1} et Div^{0}(C) ≅ K^{×}/k^{×} (car tout diviseur de degré 0 sur P^{1} est principal). D’autre part, l’on dispose d’un morphisme canonique

∂_{T} : Div^{0}(C) ≅ T^{×}/k^{×} → H^{1}(G_{T}^{ab ,ℓ}, Z_{ℓ}) = H^{1}(I_{T} , Z_{ℓ}) = Hom_{Z_{ℓ}}(I_{T} , Z_{ℓ})

induit par la théorie de Kummer. On vérifie alors sans difficulté qu’il existe une famille I de générateurs d’inertie telle que l’on ait ∂_{T} = j_{I}. On peut tirer de cette discussion le corollaire suivant :

Corollaire 7.4. — Conservons les notations du corollaire précédent, et notons C (resp. C′) la droite projective ayant k(x) (resp. l(y)) comme corps de fonctions. Identifions Div^{0}(C) (resp. Div^{0}(C′)) à leurs images dans Hom(I_{k(x)}, Z_{ℓ}) (resp. Hom(I_{l(y)}, Z_{ℓ})) via les morphismes de Kummer ∂_{k(x)}, ∂_{l(y)}. Alors l’isomorphisme I_{k(x)} ≅ I_{l(y)} induit par Φ envoie le groupe Div^{0}(C) sur ε · Div^{0}(C′), avec ε une unité de Z_{ℓ}.

8. RÉSEAUX

Nous pouvons maintenant terminer la démonstration du th. 1.3 pour tr.deg(K|k) > 2. Soient donc K, L des corps de type fini sur un corps k qui est la clôture algébrique de son corps premier. D’après la prop. 6.3, nous disposons déjà d’un isomorphisme de Z_{(ℓ)}- modules ϕ_{ℓ} : (K^{×}/k^{×}) ⊗ Z_{(ℓ)} →^{∼}(L^{×}/l^{×}) ⊗ Z_{(ℓ)}. Ces Z_{(ℓ)}-modules sont en fait libres, car K^{×}/k^{×} (resp. L^{×}/k^{×}) est isomorphe au groupe abélien libre des diviseurs principaux sur un modèle propre normal de K|k (resp. L|k). Ainsi, K^{×}/k^{×} est un réseau dans (K^{×}/k^{×})⊗ Z_{(ℓ)}, i.e. un Z-module libre sur une base du Z_{(ℓ)}-module correspondant, et de même pour L^{×}/l^{×}. Pour alléger la notation, notons L_{K} (resp. L_{L}) ces deux réseaux dans la suite.

Bien sûr, a priori il n’y a aucune raison pour que ϕ_{ℓ} envoie L_{K} sur L_{L}. Mais l’on va voir que l’information accumulée jusqu’ici sur les fonctions générales permet tout de même de les raccrocher.

Si x est une fonction générale de K, le quotient k(x)^{×}/k^{×} définit un sous-groupe L_{x} de L_{K}, lui-même un réseau dans L_{x} ⊗Z_{(ℓ)}. Le point est que les réseaux L_{x} sont extrêmement rigides pour la correspondance induite par ϕ_{ℓ}. En effet, soit l(y) ⊂ L le sous-corps correspondant à k(x) par le cor. 7.3, et notons L_{y} le réseau l(y)^{×}/l^{×}.

Lemme 8.1. — Dans la situation ci-dessus, l’image de ϕ_{ℓ}(L_{x}) dans L_{L} ⊗ Z_{(ℓ)} est ε · L_{y}, avec ε une unité de Z_{(ℓ)}.

923-21

Démonstration. — Avec les notations du cor. 7.4, on a L_{x} ≅ Div^{0}(C) et L_{y} ≅ Div^{0}(C′). Donc le corollaire s’applique et fournit une unité ε ∈ Z_{ℓ} comme dans l’énoncé. Mais comme ϕ_{ℓ} identifie ϕ_{ℓ}(L_{x}) ⊗ Z_{(ℓ)} à L_{y} ⊗ Z_{(ℓ)}, on a nécessairement ε ∈ Z_{(ℓ)}.

Fixons maintenant une fonction générale x ∈ K. D’après le lemme, quitte à remplacer ϕ_{ℓ} par un composé avec la multiplication par une unité de Z_{(ℓ)}, on peut supposer que ϕ_{ℓ}(L_{x}) = L_{y}. Le miracle est que cette seule normalisation entraîne que ϕ_{ℓ} raccroche L_{K} et L_{L}. Notons en effet L̃_{K} := L_{K} ∩ ϕ_{ℓ}^{−1}(L_{L}) (resp. L̃_{L} := L_{L} ∩ ϕ_{ℓ}(L_{K})). Ces groupes sont des sous-quotients de K^{×} (resp. L^{×}) ; ils sont non triviaux par ce qui précède. De plus, ϕ_{ℓ} envoie L̃_{K} isomorphiquement sur L̃_{L}.

Enfin, notons K̃^{×} l’image réciproque de L̃_{K} dans K^{×}; le groupe L̃^{×} est défini de façon analogue. Avec ces notations, on tire le corollaire suivant du lemme ci-dessus :

Corollaire 8.2. — Pour une fonction générale t ∈ K contenue dans K̃^{×}, on a L_{t} ⊂L̃_{K}.

Bien entendu, il y a un corollaire analogue pour les éléments de L̃^{×}.

Démonstration. — Une application du lemme précédent montre qu’il existe un entier positif m (le dénominateur de l’unité ε qui y figure) tel que l’on ait L_{x} ∩ L̃_{K} = mL_{x}, l’intersection étant prise dans L_{K}. En particulier, l’image de x dans L_{x} est contenu dans mL_{x}. Mais cela veut dire que le diviseur de x sur la droite projective associée à k(x) a des coefficients divisibles par m, ce qui n’est possible que pour m = 1.

Proposition 8.3. — Le sous-ensemble K̃ := K̃^{×} ∪ {0} ⊂ K (resp. L̃ := L̃^{×} ∪ {0} ⊂ L) est un corps.

Démonstration. — Il suffit de faire la démonstration pour K̃. Notons d’abord que comme K̃^{×} est par construction un sous-groupe de K^{×}, notre tâche est de voir que K̃ ⊂ K est un sous-groupe additif. Pour cela il suffit de montrer, en se servant de la multiplicativité, que pour tout t ∈ K̃ on a t + 1 ∈ K̃.

Soient donc t et x comme ci-dessus. S’ils sont algébriquement dépendants, on a t ∈ k(x) car k(x) est algébriquement clos dans K. Mais alors k(t) ⊂ k(x) ⊂ K̃ par le choix de x, donc en particulier t + 1 ∈ K̃.

Donc on peut supposer x et t algébriquement indépendants. Prenons κ ∈ k^{×} et considérons les éléments

w := (x + κ)/t et z := (t + x + κ)/(x + κ − 1).

En se servant de l’indépendance de t et x on vérifie que l’on peut choisir κ tel que w et z soient des fonctions générales de K.

Comme t ∈ K̃ et k(x) ⊂ K̃, on a w ∈ K̃, d’où k(w) ⊂ K̃ par le corollaire précédent. En particulier, w+1 ∈ K̃, d’où z = t(w+1)/(x+κ−1) ∈ K̃ par multiplicativité. De nouveau par le corollaire, on a k(z) ⊂ K̃, donc en particulier t + 1 = (z − 1)(x + κ − 1) ∈ K̃.

Proposition 8.4. — L’extension K|K̃ est purement inséparable.

923-22

Démonstration. — Soit x une fonction générale dans K \ K̃. D’après le lemme 8.1, il existe un entier positif m (le dénominateur de l’unité ε du lemme) tel que m · L_{x} ⊂ L̃_{K}. Mais alors k(x) est une extension de k(x)∩K̃ tel que k(x)^{m} ⊂ k(x)∩K̃. Comme x ∉ K̃, ceci n’est possible que si la caractéristique est positive et l’extension est purement inséparable. A fortiori, l’extension K̃(x)|K̃ est purement inséparable. La proposition résulte alors du fait que les fonctions générales engendrent K au-dessus de k.

Enfin, le th. 1.3 résulte de :

Proposition 8.5. — Il existe un unique isomorphisme de corps ϕ : K̃ → L̃ induisant l’isomorphisme L̃_{K} → L̃_{L} fourni par ϕ_{ℓ}.

Démonstration. — Notons que par construction L̃_{K} est exactement l’espace projectif P(K̃) associé au k-espace vectoriel K̃, et de même pour L̃_{L}. D’après le théorème fondamental de la géométrie projective ([1], Theorem 2.26), si l’on sait montrer que ϕ_{ℓ} : P(K̃) →^{∼} P(L̃) préserve les droites, il s’en suit que k ≅ l et ϕ_{ℓ} est induit par un isomorphisme de k-espaces vectoriels K̃ →^{∼} L̃. Or on sait déjà d’après le cor. 7.3 que Φ préserve de nombreuses droites, à savoir celles provenant des sous-corps k(x) engendrés par une fonction générale x. Un argument astucieux de géométrie projective axiomatique (voir [7], §3 ainsi que la prop. 2.10) montre alors que la connaissance de ces droites permet déjà de reconstituer toutes les droites dans P(K̃) et P(L̃).

Enfin, la multiplicativité de l’application K̃ → L̃ s’en suit par un calcul facile (loc. cit., th. 3.7 ou [31], fin du §5).

Remarque 8.6. — Notons enfin que l’argument ci-dessus fournit également la preuve du th. 1.1 en caractéristique positive. En effet, soit K un corps de type fini sur un corps fini k. Remarquons que si ℓ est premier à la caractéristique de K, le morphisme naturel K^{×} → K^{×(ℓ)} est injectif car K^{×}, étant extension d’un groupe libre par un groupe fini, n’admet pas d’élément ℓ-divisible non trivial. D’autre part, le corps Kk̄ obtenu en prenant le composé de K avec la clôture algébrique du corps premier k dans une clôture séparable de K satisfait aux hypothèses du th. 1.3. On a obtenu ci-dessus une caractérisation de l’image du morphisme naturel (Kk̄)^{×} → (Kk̄)^{×(ℓ)}. Ce morphisme est équivariant pour l’action du groupe de Galois G_{k} de k, que l’on sait caractériser comme quotient de G_{K} par la prop. 4.6. L’image de K^{×} dans K^{×(ℓ)} s’obtient alors en prenant les points fixes sous G_{k}.

9. SURFACES

Dans ce dernier chapitre, nous donnons des indications sur la démonstration du th. 1.3 dans le cas où K|k est une extension de type fini de degré de transcendance 2. Comme déjà mentionné supra, dans ce cas on ne dispose pas des informations obtenues par la récurrence du chap. 6, donc il faut modifier la stratégie.

923-23

L’idée de Pop est de considérer d’abord les notions suivantes.

Définition 9.1. — Un élément g ∈ G_{K}^{ℓ} est dit élément d’inertie s’il est contenu dans le sous-groupe d’inertie I_{w} associée à une prolongation w d’une valuation v sur K. L’élément d’inertie g est divisoriel si v est une valuation divisorielle de K. On note In_{K} l’ensemble des éléments d’inertie contenus dans G_{K}^{ℓ}.

Supposons maintenant de plus que k est la clôture algébrique d’un corps fini ; pour des remarques concernant le cas k = Q̄, voir la fin du chapitre. Le grand avantage de ce cas est que toute valuation de K est nécessairement triviale sur k.

On a alors les deux résultats suivants.

Proposition 9.2. — L’ensemble In_{K} est fermé dans G_{K}^{ℓ}.

La démonstration consiste à construire explicitement, pour tout g dans l’adhérence de In_{k}, une valuation contenant g dans son sous-groupe d’inertie. Nous omettons les détails ; voir [32].

En revanche, nous donnons la preuve de la proposition clef suivante :

Proposition 9.3. — L’ensemble In_{K} est l’adhérence exacte du sous-ensemble des éléments d’inertie divisoriels dans G_{K}^{ℓ}.

Démonstration. — Soit g ∈ In_{K}. Notons K^{ℓ} une pro-ℓ-extension maximale de K sur laquelle g agit, w la valuation de K^{ℓ} associée à g et Λ ⊂ K^{ℓ} le sous-corps fixé par g. D’après la théorie de Kummer, il existe un élément β ∈ Λ qui n’est pas une puissance ℓième et un système compatible (α_{i}) de racines ℓ^{i}-ièmes de β tel que K^{ℓ} soit la réunion des corps Λ(α_{i}). Alors la famille des corps de la forme F (α_{i}), avec F ⊂ Λ extension galoisienne finie de K contenant β, est cofinale dans la famille des sous-extensions galoisiennes finies de K^{ℓ}|K, il suffit donc de montrer que la restriction de g à un tel corps est contenue dans le sous-groupe d’inertie d’une valuation divisorielle.

Soit X un modèle propre régulier de F |k; un tel modèle existe comme tr.deg(K|k) = 2 d’après Abhyankar. Pour v la restriction de w à F, l’anneau de valuation A_{v} domine un anneau local O_{X,P} de X; cet anneau est régulier, donc factoriel. Ainsi, β s’écrit comme un produit β = uπ_{1}^{ν_{1}} … π_{r}^{ν_{r}}, avec une unité u et des éléments premiers π_{j} de O_{X,P}. On montre alors qu’il existe un 1 ≤ j ≤ r pour lequel ℓ ∤ ν_{j}. (En effet, comme Gal (K^{ℓ}|Λ) ≅ Z_{ℓ}, l’anneau de valuation A_{w,Λ} de la restriction de w à Λ est pro-ℓ-hensélien, donc son groupe d’unités est ℓ-divisible. Ainsi, si ℓ | ν_{j} pour tout j, alors x est une puissance ℓ-ième dans A_{w,Λ} ⊂ Λ, contradiction.) Soit v_{j} la valuation divisorielle associée à π_{j} et w_{j} une extension de v_{j} à F (α_{i}). Alors l’on a ν_{j} = v_{j}(β) = w_{j}(β) = ℓ^{i}w_{j}(α_{i}), donc ℓ ∤ ν_{j} implique que l’extension F (α_{i})|F est non ramifiée pour w_{j}, i.e. le sous-groupe d’inertie de w_{j} est égal à Gal (F (α_{i})|F) tout entier.

Soit maintenant v_{P} une valuation divisorielle de K; elle provient donc d’un point de codimension 1 sur une k-surface normale de corps de fonctions K. Le corps résiduel κ(P)

923-24

est le corps de fonctions d’une k-courbe propre lisse C_{P}, donc toute valuation v_{Q} sur κ(P) est la valuation discrète associée à un point fermé Q de la courbe C_{P}. L’image réciproque de l’anneau de valuation de v_{Q} (i.e. de l’anneau local de Q) dans l’anneau de valuation A_{P} de v_{P} est un anneau de valuation provenant d’une valuation v de K (de rang 2). Réciproquement, toute valuation de K dont l’anneau de valuation est contenu dans A_{P} induit une valuation sur κ(P).

Lemme 9.4. — Soit v_{P′} la valuation divisorielle correspondant à P via Φ. Alors Φ envoie les éléments d’inertie de G_{κ(P)} sur ceux de G_{κ(P′)}.

Démonstration. — Fixons un groupe de décomposition D_{P} ⊂ G_{K}^{ℓ} d’un prolongement de v_{P} ; il s’envoie surjectivement sur G_{κ(P)}^{ℓ}. On vérifie alors sans peine que tout sous-groupe d’inertie I_{Q} associé à une prolongation de v_{Q} dans G_{κ(P)}^{ℓ} est quotient d’un sous-groupe d’inertie I_{w} ⊂ D_{P} associé à une prolongation w de v dans G_{K}^{ℓ}. Donc on obtient finalement que In_{κ(P)} est l’image exacte de l’ensemble In_{K} ∩ D_{P}. D’après la proposition ci-dessus, In_{K} ∩ D_{P} est l’intersection de D_{P} avec l’adhérence des éléments d’inertie divisoriels. Pour terminer la preuve, il suffit de noter que d’après le th. 4.4 (et sa preuve), l’isomorphisme Φ envoie D_{P} sur D_{P′} et respecte les sous-groupes d’inertie divisoriels.

Remarques 9.5. —

(1) Les sous-groupes d’inertie de G_{κ(P)}^{ℓ} sont tous procycliques. On peut les caractériser de la façon suivante : ils sont les sous-groupes procycliques maximaux engendrés par un élément d’inertie. Ainsi, d’après le lemme, ils sont respectés par Φ.

(2) Le lemme implique, comme dans la discussion précédant le cor. 7.3, que les courbes propres et lisses correspondant à κ(P) et κ(P′) ont même genre.

Nous pouvons maintenant donner une esquisse de la démonstration du th. 1.3 pour tr.deg(K|k) = tr.deg(L|l) = 2 et k, l des clôtures algébriques d’un corps fini ; pour les détails, voir [33].

Soit X un modèle quasi-projectif lisse de K|k, et soit D_{X} l’ensemble géométrique de valuations divisorielles provenant de points de codimension 1 de X. Utilisant le th. 5.10 et le lemme de Chow, on voit que quitte à rapetisser X, on peut supposer que Φ envoie D_{X} à l’ensemble des valuations provenant de points de codimension 1 d’un modèle quasiprojectif lisse Y de L|l.

Prenons maintenant un système I = (i_{P}) de générateurs de sous-groupes d’inertie associés aux points de codimension 1 de X dans G_{K}^{ℓ,ab} et posons D̂iv (X) := Hom_{Z_{ℓ}}(F_{I}, Z_{ℓ}), où F_{I} est le pro-ℓ-groupe abélien libre de base I. Comme dans le cas des courbes discuté au chap. 7, le groupe D̂iv (X) est bien défini à multiplication par une unité de Z_{ℓ} près, et l’on dispose d’un morphisme naturel K^{×(ℓ)} ≅ Hom_{Z_{ℓ}}(G_{K}^{ℓ,ab} , Z_{ℓ}) → D̂iv (X) (dépendant de I). Soit maintenant D_{P} ⊂ G_{K}^{ℓ,ab} le sous-groupe de décomposition d’un point P de codimension 1 sur X. Alors κ(P) est le corps de fonctions d’une courbe propre lisse C_{P} pour laquelle

923-25

on dispose d’un morphisme analogue κ(P)^{×(ℓ)} ≅ Hom_{Z_{ℓ}}(G_{κ(P)}^{ℓ,ab}, Z_{ℓ}) → D̂iv (C_{P}) discuté au chap. 7. Tout élément dans le noyau du morphisme Hom_{Z_{ℓ}}(D_{P} , Z_{ℓ}) → Hom_{Z_{ℓ}}(I_{P} , Z_{ℓ}) provient d’un élément de κ(P)^{×(ℓ)} ≅ Hom_{Z_{ℓ}}(G_{κ(P)}^{ℓ,ab}, Z_{ℓ}).

Notons K_{X} l’image de K^{×(ℓ)} dans D̂iv (X) ; on définit K_{C_{P}} de façon analogue pour tout P. Ces sous-groupes se projettent surjectivement sur chaque composante de D̂iv (X) (resp. D̂iv (C_{P})) engendrée par un élément de la base canonique. Considérons Div (X) ⊗ Z_{(ℓ)} (resp. Div (C_{P}) ⊗ Z_{(ℓ)}) comme Z_{(ℓ)}-réseaux dans D̂iv (X) (resp. D̂iv (C_{P})), et notons L_{X} (resp. L_{C_{P}}) leurs intersections avec K_{X} (resp. K_{C_{P}}). Ces sous-groupes déterminent Div (X) ⊗ Z_{(ℓ)} et Div (C_{P}) ⊗ Z_{(ℓ)} comme Z_{(ℓ)}-réseaux par ce qui précède. Alors il n’est pas difficile à démontrer la caractérisation suivante de Div (X) ⊗ Z_{(ℓ)} : il est l’unique Z_{(ℓ)}-réseau qui soit compatible, à multiplication par une unité de Z_{ℓ} près, avec les Z_{(ℓ)}- réseaux résiduels Div (C_{P})⊗Z_{(ℓ)}. L’énoncé précis est le suivant : Div (X)⊗Z_{(ℓ)} est l’unique Z_{(ℓ)}-réseau, à multiplication par une unité de Z_{ℓ} près, tel que pour tout P et tout sous-Z_{ℓ}-module de type fini Δ de K_{X} dont l’image Δ_{P} dans Hom_{Z_{ℓ}}(D_{P} , Z_{ℓ}) est contenue dans K_{C_{P}}, l’image dans Hom_{Z_{ℓ}}(D_{P} , Z_{ℓ}) de la partie de L_{X} contenue dans Δ soit égale à la partie de L_{C_{P}} contenue dans Δ_{P}, à multiplication par une unité de Z_{ℓ} près.

On peut faire une construction analogue pour le modèle Y de L|l et obtenir, en particulier, un Z_{(ℓ)}-module L_{Y} de la même manière que L_{X}. D’après le th. 4.4 et le lemme 9.4, l’isomorphisme Φ respecte ces constructions, et donc, par la caractérisation ci-dessus, quitte à multiplier Φ par une unité de Z_{ℓ}, on peut supposer qu’il envoie L_{X} sur L_{Y}. Le problème est alors que ces Z_{(ℓ)}-modules sont en général plus grands que K^{×}/k^{×} ⊗ Z_{(ℓ)} (resp. L^{×}/l^{×} ⊗ Z_{(ℓ)}). Mais on peut surmonter cette difficulté en exploitant que le quotient Q_{X} := L_{X}/(K^{×}/k^{×} ⊗ Z_{(ℓ)}) est de torsion. Pour se convaincre de ce dernier fait, on peut d’abord remplacer X par une compactification lisse (elle existe d’après Abhyankar), car ce ne fait qu’agrandir le groupe Q_{X}. Ensuite, observons que par sa définition même, l’image de L_{X} dans le groupe (P ic(X)/ℓ^{n}) ⊗ Z_{(ℓ)} est triviale pour tout n; a fortiori, il en est de même dans (NS(X)/ℓ^{n}) ⊗ Z_{(ℓ)}, où NS(X) est le groupe de Néron-Severi de X. Mais NS(X) ⊗ Z_{(ℓ)} est de type fini sur Z_{(ℓ)}, donc ne contient pas d’élément ℓ-divisible. Il en résulte que Q_{X} est quotient du groupe Pic^{0}(X) ⊗ Z_{(ℓ)} qui est effectivement de torsion, X étant projective et lisse sur la clôture algébrique d’un corps fini.

De plus, on peut montrer que L_{X} est le plus grand sous-Z_{(ℓ)}-module de K_{X} contenant K^{×}/k^{×} ⊗ Z_{(ℓ)} tel que le quotient soit de torsion. Nous avons bien sûr une caractérisation analogue de L_{Y}. Cette propriété de torsion permet alors de terminer la démonstration par une légère adaptation des arguments présentés aux chapitres 7 et 8, où l’on remplace l’utilisation de K^{×}/k^{×} ⊗ Z_{(ℓ)} et L^{×}/l^{×} ⊗ Z_{(ℓ)} par celle de L_{X} et L_{Y}. En particulier, la prop. 7.2 et le lemme 8.1 doivent être adaptés à ce contexte ; nous renvoyons à [33] pour les détails techniques.

Terminons par un mot sur le cas où k = Q̄. Le point le plus délicat est alors, comme on l’a déjà mentionné au chap. 4, la distinction entre les valuations divisorielles et les

923-26

valuations discrètes non triviales sur Q̄ ; la théorie des éléments d’inertie joue ici un rôle crucial. Ensuite, on travaille avec des modèles entiers sur Spec Z̄ des surfaces ayant K et L pour corps de fonctions, et on établit le résultat par un argument de spécialisation modulo p, exploitant le cas k = F̄_{p} que l’on vient de voir.

Remerciements. — Lors de la préparation de cet exposé, j’ai bénéficié d’une invitation de Florian Pop à l’université de Bonn qui m’a permis d’avoir de nombreuses discussions avec lui sur ses travaux en préparation. Je lui suis très reconnaissant pour sa générosité et sa disponibilité. Un grand merci également à Jean-Louis Colliot-Thélène, Philippe Gille, János Kollár et Jakob Stix pour des corrections apportées in extremis.

RÉFÉRENCES

[1] E. ARTIN – Geometric Algebra, Interscience, New York/London, 1957.

[2] E. ARTIN, O. SCHREIER – Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1927), 225-231.

[3] P. BERTHELOT – Altérations de variétés algébriques (d’après A. J. de Jong), Séminaire Bourbaki, année 1995/96, Astérisque 241 (1997), exp. 815, 273–311.

[4] F. BOGOMOLOV – Sous-groupes abéliens de groupes de Galois (en russe), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 55 (1991), 32–67.

[5] F. BOGOMOLOV – On two conjectures in birational algebraic geometry, in Algebraic geometry and analytic geometry (Tokyo, 1990), ICM-90 Satell. Conf. Proc., Springer, Tokyo, 1991, p. 26–52.

[6] F. BOGOMOLOV, Yu. TSCHINKEL – Commuting elements in Galois groups of function fields, in Motives, Polylogarithms and Hodge Theory (F. Bogomolov, L. Katzarkov, eds.), International Press, 2002, p. 75–120.

[7] F. BOGOMOLOV, Yu. TSCHINKEL – Reconstruction of function fields, prépub-

    lication math.AG/0303075, 2003.

[8] N. BOURBAKI – Algèbre commutative, Hermann, Paris, 1964.

[9] I. EFRAT – Abelian subgroups of pro-2 Galois groups, Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), 1031–1035.

[10] O. ENDLER – Valuation Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

[11] A. J. ENGLER, J. KOENIGSMANN – Abelian subgroups of pro-p Galois groups, Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), 2473–2485.

[12] A. J. ENGLER, J. B. NOGUEIRA, Maximal abelian normal subgroups of Galois pro-2-groups, J. Algebra 166 (1994), 481–505.

923-27

[13] G. FALTINGS – Curves and their fundamental groups (following Grothendieck, Tamagawa and Mochizuki), Séminaire Bourbaki, année 1997/98, Astérisque 252 (1998), exp. 840, 131–150.

[14] M. FRIED, M. JARDEN – Field Arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete (3), vol. 11, Springer-Verlag, Berlin, 1986.

[15] A. GROTHENDIECK – Revêtements étales et groupe fondamental, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1960–1961 (SGA 1), Lecture Notes in Mathematics, vol. 224, Springer-Verlag, 1971.

[16] A. GROTHENDIECK – Cohomologie des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2), North-Holland, 1968.

[17] A. GROTHENDIECK – Brief an G. Faltings, reproduit dans Geometric Galois Actions I (P. Lochak, L. Schneps, eds.), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 242, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, p. 49–58, trad. anglaise p. 285–293.

[18] D. HARARI – Le théorème de Tamagawa II, in Courbes semi-stables et groupe fondamental en géométrie algébrique (Luminy, 1998), J.-B. Bost, F. Loeser, M. Raynaud, eds., Progress in Math., 187, Birkhäuser, Basel, 2000, p. 203–216.

[19] A. J. de JONG – Smoothness, semi-stability and alterations, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 83 (1996), 51–93.

[20] N. KATZ, S. LANG – Finiteness theorems in geometric classfield theory, L’Enseign. Math. (2) 27 (1981), 285–319 (1982).

[21] J. KOLLÁR – Rational Curves on Algebraic Varieties, Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete (3), vol. 32, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

[22] S. MOCHIZUKI – The local pro-p anabelian geometry of curves. Invent. Math. 138 (1999), 319–423.

[23] H. NAKAMURA, A. TAMAGAWA, S. MOCHIZUKI, The Grothendieck conjecture on the fundamental groups of algebraic curves, Sūgakū Expositions 14 (1) (2001), 31–53.

[24] J. NEUKIRCH – Kennzeichnung der p-adischen und der endlichen algebraischen Zahlkörper, Invent. Math. 6 (1969), 296–314.

[25] J. NEUKIRCH – Kennzeichnung der endlich-algebraischen Zahlkörper durch die Galoisgruppe der maximalen auflösbaren Erweiterungen, J. reine angew. Math. 238 (1969), 135–147.

[26] J. NEUKIRCH – Über die absoluten Galoisgruppen algebraischer Zahlkörper, in Journées Arithmétiques de Caen, Astérisque 41-42 (1977), 67–79.

[27] J. NEUKIRCH, A. SCHMIDT, K. WINGBERG – Cohomology of number fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften vol. 323, Springer-Verlag, Berlin,

923-28

[28] F. POP – On Grothendieck’s conjecture of birational anabelian geometry. Ann. of Math. (2) 139 (1994), 145–182.

[29] F. POP – Glimpses of Grothendieck’s anabelian geometry, in Geometric Galois Actions I (P. Lochak, L. Schneps, eds.), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 242, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, p. 145–182.

[30] F. POP – On Grothendieck’s conjecture of birational anabelian geometry II, prépublication, 1996.

[31] F. POP – Alterations and birational anabelian geometry, in Resolution of singularities (Obergurgl, 1997), H. Hauser et al., eds., Progress in Math., vol. 181, Birkhäuser, Basel, 2000, p. 519–532.

[32] F. POP – The birational anabelian conjecture revisited, prépublication, 2002.

[33] F. POP – Pro-ℓ birational anabelian geometry over algebraically closed fields I, prépublication math.AG/0307076, 2003 ; deuxième partie en préparation.

[34] M. ROVINSKY – On certain isomorphisms between absolute Galois groups, Compositio Math. 136 (2003), 61–67.

[35] F. K. SCHMIDT – Mehrfach perfekte Körper, Math. Ann. 108 (1933), 1–25.

[36] J-P. SERRE – Cohomologie galoisienne, cinquième édition, révisée et complétée, Lecture Notes in Mathematics, vol. 5, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

[37] M. SPIESS – An arithmetic proof of Pop’s theorem concerning Galois groups of function fields over number fields, J. reine angew. Math. 478 (1996), 107–126.

[38] T. SZAMUELY – Le théorème de Tamagawa I, in Courbes semi-stables et groupe fondamental en géométrie algébrique (Luminy, 1998), J.-B. Bost, F. Loeser, M. Raynaud, eds., Progress in Math., 187, Birkhäuser, Basel, 2000, p. 185–201.

[39] K. UCHIDA – Isomorphisms of Galois groups, J. Math. Soc. Japan 28 (1976), 617– 620.

[40] K. UCHIDA – Isomorphisms of Galois groups of algebraic function fields. Ann. of Math. (2) 106 (1977), 589–598.

[41] O. ZARISKI – The reduction of singularities of an algebraic surface, Ann. of Math. (2) 40 (1939), 639–689.

Tamás SZAMUELY

Alfréd Rényi Institute of Mathematics Hungarian Academy of Sciences PO Box 127 H-1364 Budapest, Hongrie

                                E-mail : szamuely@renyi.hu