Sottospazi vettoriali 3

[crumiro]

Qualcuno che ha svolto gli esercizi "Sottospazi vettorial 3" , in particolari il seguente esercizio (il terzultimo di pag 30)
Spazio vettoriale R(4);
v1: (0,0,1,1)
v2: (0,1,1,0)
v3: (1,1,0,0)
w1: (1,1,1,1)
w2: (2,0,-2,0)

saprebbe spiegarmi , una volta calcolate la dimensione dello span V ( = 3) e dello span W (= 2), come trovo la dimensione dell'intersezione?
Applico la formula di Grassman, ma la dimensione ( v + w) è = 4 o può essere anche minore?
Grazie in anticipo

[GIMUSI]

e se li "gaussizzi" in un unica matrice, determini il rango = dim(V+W) e da questa con grassmann la dim dell'intersezione?

[Massimo Gobbino]

Esatto, il punto fondamentale è che quei 5 vettori, insieme, sono un sistema di generatori per V+W. In altre parole, V+W è lo Span di quei 5 vettori. Ovviamente non è detta che siano linearmente indipendenti insieme, anche se i primi 3 da soli lo sono e gli ultimi 2 da soli lo sono. Per determinare la dimensione non resta quindi che trovare un sottoinsieme massimale che sia linearmente indipendente oppure, in maniera più evoluta, fare il rango come suggerito da GIMUSI.

[e.rapuano]

Va bene anche se trovo prima la dimensione del sottospazio intersezione (dato che si tratta di un piano e uno spazio che si intersecano in un piano) e successivamente calcolo la dimensione di (V+W) ?

[Massimo Gobbino]

Ma come la trovi la dimensione dell'intersezione?

[e.rapuano]

Avevo creato dei parametri e scritto le "equazioni parametriche" rispettivamente dello spazio e del piano in R4 individuati dai vettori v1,v2,v3,w1 e w2...in altri termini:
t(0,0,1,1) + s(0,1,1,0) +r(1,1,0,0) che diventava (r,s+r,t+s,t) e poi
v(1,1,1,1) + w(2,0,-2,0) che diventava (v+2w,v,v-2w,v)
alla fine ho eguagliato a 2 a 2 queste "coordinate" e ho ottenuto un sistema: ho pensato che trovando un unica soluzione avrei avuto il punto d'intersezione, con un solo parametro libero ci sarebbe stata una retta e con 2 parametri liberi (com'è uscito) nell'intersezione si sarebbe avuto un piano.
So che forse è un ragionamento campato in aria...ma mi sembrava filasse....

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

Concordo. In generale è facile trovare le dimensioni di V, W e V+W (basta "gaussizzare" opportune matrici o andare di D-rango). È anche abbastanza semplice produrre basi degli stessi spazi (basta interpretare bene quello che si è fatto con Gauss o andare a cercare i minori giusti se si è andati di D-rango). È facile pure avere la dimensione dell'intersezione, perché segue da Grassmann. Sono chiari a tutti questi procedimenti?

L'unico punto in cui serve il lavoro sporco è per avere una base dell'intersezione, se questa è diversa da {0}, per la quale bisogna procedere alla e.rapuano.

[GIMUSI]

[nomeutente]

Potreste allegare le soluzioni? Grazie

[GIMUSI]

[e.rapuano]

Come base del sottospazio inteserzione nel 5° esercizio io mi trovo il vettore (-2,0,1).
Al 6° le dimensioni che mi trovo sono (in ordine): 2 2 2 2;
All'8°: 2 2 1 3;
9°: 3 2 2 3;

[GIMUSI]

[e.rapuano]

ok, corretto!

[matt_93]

ho un dubbio:
nell'esercizio 6, non mi torna la base dell'intersezione perchè sicuramente ho sbagliato qualcosa nei calcoli del secondo metodo descirtto dal prof nella lezione 35....posso sapere come viene trattato, passo per passo?
grazie.