Geometria nello spazio 1

[GIMUSI]

Nell'esercizio n.4 si chiede di determinare la distanza di un punto generico [tex]P=(x,y,z)[/tex] dalla retta [tex]r: (x_0,y_0,z_0)+t(x_1,y_1,z_1)[/tex].

Indicando con H il generico punto sulla retta, risulta: [tex]PH=(x_0+tx_1-x,y_0+ty_1-y,z_0+tz_1-z)[/tex].

Imponendo l'ortogonalita tra PH e il vettore velocità della retta [tex]v=(x_1,y_1,z_1)[/tex] si ottiene: [tex]t=\frac{x_1(x-x_0)+y_1(y-y_0)+z_1(z-z_0)}{x_1^2+y_1^2+z_1^2}[/tex].

Ora, sostituendo in PH e calcolando il modulo si ottiene la distanza richiesta.

Ho provato a determinare una soluzione generale ma l'espressione che ne deriva è estremamente complessa. Voi come avete fatto? ci sono modi di esprimere tale distanza in termini più semplici? Tra l'altro nell'esercizio seguente mi pare che tale espressione sia necessaria.

[nomeutente]

Esercizio 6: luogo dei punti equidistanti dai 3 vertici?
Che faccio?
Ho pensato di prendere un punto p (x,y,z) e con questo fare distanze dai vertici e metterle a sistema.

[GIMUSI]

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test n.14 "Geometria nello spazio 1" in rev01

rispetto alla prima versione, gli esercizi 4, 5 e 9 sono stati riformulati secondo le preziose indicazioni e considerazioni fornite dal Prof. Gobbino e che trovate qui nel thread

[Massimo Gobbino]

Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta [tex]P_0 + tv[/tex] è data dalla formula

[tex]\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}[/tex]

Imponendo che quella roba faccia [tex]R^2[/tex], con un minimo di semplificazione ci troviamo

[tex]\|x-P_0\|^2\cdot\|v\|^2-\langle x-P_0,v \rangle^2=R^2\cdot\|v\|^2[/tex]

Se poi vogliamo tornare in componenti ed espandere, ci troviamo ovviamente un'equazione di secondo grado nelle componenti (x,y,z) del vettore x.

Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

[tex]\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2[/tex]

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.

Per quanto riguarda il cono, se voglio il cono con vertice in [tex]P_0[/tex], direttrice [tex]P_0+tv[/tex] e angolo di apertura [tex]\theta[/tex], basta che imponga

[tex]\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle}{\|x-P_0\|\cdot\|v\|}=\cos\theta[/tex]

Perché tutto ciò?

Facendo il quadrato e risistemando i denominatori, ancora una volta trovo un'equazione di secondo grado nelle componenti. Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando [tex]\theta[/tex] tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

[GIMUSI]

[antonio]

[GIMUSI]

[antonio]

[antonio]

Ok. adesso è tutto più chiaro, (prodotto vettoriale) diciamo che mancavano alcuni tasselli che si trovano più avanti nel corso rispetto alla cronologia degli esercizi.
Grazie per l'aiuto.