Alcuni di questi limiti mi hanno messo in difficoltà, in particolar modo:
lim n->+00 {sqrt(n+1) + sqrt(4n+1) - sqrt (9n+1) }^(1/log n)
lim n->+00 sqrt(n) * {sqrt(pigreco) - sqrt(arccos ((1-n)/n))}
Limiti 10
- catarsiaffa
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Re: Limiti 10
Ciao!
Io farei cosi:
- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}[/tex]
considerando la base, razionalizzando otteniamo:
[tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }[/tex] [tex]=\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) - \sqrt{9n+1)} \cdot[/tex] [tex]\displaystyle \frac{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right)^2 -9n-1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]
[tex]=\displaystyle \frac{ 2\sqrt{4n^2+5n+1} -4n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]
quando [tex]n\to+\infty[/tex] abbiamo che
[tex]= \frac{ 2\sqrt{4n^2+5n+1} -4n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex][tex]\sim \frac{ 1} {6 \sqrt{n }}[/tex]
e dunque il limte diventa:
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}[/tex][tex]\sim \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)^{\frac{1}{\ln n}}=e^{\frac{1}{\ln n}\cdot \ln\left(\frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)}[/tex]
[tex]\to \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\ln n}\cdot \ln\left(\frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\ln n} \cdot\left(\ln 1-\ln 6\sqrt n\right)=[/tex][tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} - \frac{1}{\ln n} \cdot \ln 6\sqrt n = \lim_{n \to +\infty} - \frac{1}{\ln n} \cdot\left(\ln 6+\ln \sqrt n\right)[/tex]
[tex]= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} - \frac{\ln 6}{\ln n}- \frac{\ln \sqrt n}{\ln n}=0- \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln \sqrt n}{\ln n}=- \frac{1}{2} \to e^{-\frac{1}{2}}[/tex]
quindi in definitiva
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}=e^{-\frac{1}{2}}[/tex]
- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)[/tex]
essendo
[tex]\displaystyle \arccos\left(\frac{1-n}{n}\right)\sim \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n}+O(x^{3/2}), (n\to +\infty)[/tex]
il limite diventa:
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)[/tex] [tex]=\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)[/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)[/tex]
a questo punto razionalizzando si ha :
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)\cdot\frac{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} } }{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }} =[/tex][tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \pi - \pi+\frac{\sqrt 2}{\sqrt n} }\right)\cdot\frac{1}{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }}=\frac{\sqrt 2}{2\sqrt\pi}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}[/tex]
quindi in definitiva:
- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}[/tex]
Io farei cosi:
- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}[/tex]
considerando la base, razionalizzando otteniamo:
[tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }[/tex] [tex]=\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) - \sqrt{9n+1)} \cdot[/tex] [tex]\displaystyle \frac{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right)^2 -9n-1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]
[tex]=\displaystyle \frac{ 2\sqrt{4n^2+5n+1} -4n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]
quando [tex]n\to+\infty[/tex] abbiamo che
[tex]= \frac{ 2\sqrt{4n^2+5n+1} -4n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex][tex]\sim \frac{ 1} {6 \sqrt{n }}[/tex]
e dunque il limte diventa:
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}[/tex][tex]\sim \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)^{\frac{1}{\ln n}}=e^{\frac{1}{\ln n}\cdot \ln\left(\frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)}[/tex]
[tex]\to \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\ln n}\cdot \ln\left(\frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\ln n} \cdot\left(\ln 1-\ln 6\sqrt n\right)=[/tex][tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} - \frac{1}{\ln n} \cdot \ln 6\sqrt n = \lim_{n \to +\infty} - \frac{1}{\ln n} \cdot\left(\ln 6+\ln \sqrt n\right)[/tex]
[tex]= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} - \frac{\ln 6}{\ln n}- \frac{\ln \sqrt n}{\ln n}=0- \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln \sqrt n}{\ln n}=- \frac{1}{2} \to e^{-\frac{1}{2}}[/tex]
quindi in definitiva
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}=e^{-\frac{1}{2}}[/tex]
- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)[/tex]
essendo
[tex]\displaystyle \arccos\left(\frac{1-n}{n}\right)\sim \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n}+O(x^{3/2}), (n\to +\infty)[/tex]
il limite diventa:
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)[/tex] [tex]=\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)[/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)[/tex]
a questo punto razionalizzando si ha :
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)\cdot\frac{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} } }{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }} =[/tex][tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \pi - \pi+\frac{\sqrt 2}{\sqrt n} }\right)\cdot\frac{1}{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }}=\frac{\sqrt 2}{2\sqrt\pi}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}[/tex]
quindi in definitiva:
- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}[/tex]
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Re: Limiti 10
Uhm, mi sa che sul primo ti sei un po' incasinato con le parentesi nel LaTeX ...
In realtà con gli sviluppini veniva più semplice. Si tratta di partire del tipo
[tex]\displaystyle\sqrt{n+1}=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2}\sim\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{2n}\right)[/tex]
e analogamente
[tex]\displaystyle\sqrt{4n+1}=\sqrt{4n}\left(1+\frac{1}{4n}\right)^{1/2}\sim 2\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{8n}\right)[/tex]
Trattando allo stesso modo il terzo termine si vede che le [tex]\sqrt{n}[/tex] al numeratore se ne vanno ed il gioco è fatto.
In realtà con gli sviluppini veniva più semplice. Si tratta di partire del tipo
[tex]\displaystyle\sqrt{n+1}=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2}\sim\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{2n}\right)[/tex]
e analogamente
[tex]\displaystyle\sqrt{4n+1}=\sqrt{4n}\left(1+\frac{1}{4n}\right)^{1/2}\sim 2\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{8n}\right)[/tex]
Trattando allo stesso modo il terzo termine si vede che le [tex]\sqrt{n}[/tex] al numeratore se ne vanno ed il gioco è fatto.
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