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Salve, vorrei proporre la soluzione del seguente esercizio.
Stabilire per quali valori del parametro il seguente integrale risulta convergente:

dove l'insieme dato è

Allora, sull'insieme è . Dunque, dovrebbero valere le seguenti relazioni:

da cui segue che

Adesso, il primo integrale a destra diverge . Infatti, abbiamo che

dove l'integrale in è un numero >0, in quanto integrale proprio di funzione continua >0 su intervallo limitato; mentre l'integrale in diverge, essendo uguale a

Il secondo integrale a destra, invece, converge , essendo uguale a

dove anche in questo caso, per motivazioni identiche a quelle sopra espresse, l'integrale in converge
A questo punto, se sono valide le considerazioni iniziali, è lecito affermare che, per la proprietà di linearità, l'integrale dato non converge per alcun valore di ?

Grazie in anticipo per le correzioni ed eventuali suggerimenti ..

La diseguaglianza alla Bernoulli che hai usato



vale solo per , e in questo intervallo mi pare che il procedimento sia corretto, invece per

.

Mi pare ci sia un modo più semplice e diretto di minorare .

Ho controllato sulle dispense del professore e, purtroppo, la disuguaglianza di Bernoulli vale solo per intero .
Tuttavia, mi sembrava di ricordare che vi fosse qualcosa di simile anche per gli sviluppi di Taylor, ed in quel caso mi sembra che il parametro fosse reale. Probabilmente ho confuso una cosa con l'altra...

Al momento non riesco a vedere altri modi di minorare . Tu cosa hai in mente Gimusi ?

Eh si.. hai ragione Gimusi.. data la decrescenza della funzione sull'intervallo considerato.. Grazie per la dritta..