Integrale improprio con parametro
Inviato: venerdì 24 aprile 2020, 13:38
Salve, sono alle prese con il seguente esercizio di cui propongo una soluzione, ma non sono sicuro che le considerazioni fatte durante lo svolgimento siano corrette. Pertanto, se qualcuno vuole dare un'occhiata e dire cosa ne pensa, ne sarei felice..
L'esercizio è questo: stabilire per quali valori del parametro il seguente integrale risulta convergente.
dove l'insieme dato è
Eseguo il seguente cambio di variabili per pareggiare gli esponenti a denominatore:
La funzione integranda diventa
mentre l'insieme di integrazione si trasforma in
Adesso
per è
mentre
per è
In ogni caso abbiamo che
sono un numero in quanto integrali propri di funzione continua su insiemi limitati. Quindi, la convergenza dell'integrale sarà determinata dal suo comportamento sull'insieme di partenza. Passando a coordinate polari, dunque, si ha che
L'integrale in è uguale a
Dunque, l'integrale dato converge cioè
Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
L'esercizio è questo: stabilire per quali valori del parametro il seguente integrale risulta convergente.
dove l'insieme dato è
Eseguo il seguente cambio di variabili per pareggiare gli esponenti a denominatore:
La funzione integranda diventa
mentre l'insieme di integrazione si trasforma in
Adesso
per è
mentre
per è
In ogni caso abbiamo che
sono un numero in quanto integrali propri di funzione continua su insiemi limitati. Quindi, la convergenza dell'integrale sarà determinata dal suo comportamento sull'insieme di partenza. Passando a coordinate polari, dunque, si ha che
L'integrale in è uguale a
Dunque, l'integrale dato converge cioè
Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.