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Buongiorno,
vorrei sapere se posso definire la misura di una sigma-algebra R come una coppia (A,f), dove A è un sottoinsieme di R e f( sostanzialmente la misura) una funzione da A nei reali non negativi ( senza + infinito) e cambiando la proprietà dell' additività numerabile con:
comunque preso un insieme numerabile di A ( con elementi a due a due disgiunti), si ha che:
- l' unione non appartiene ad A e la serie delle misure diverge
- oppure l' unione appartiene ad A, la serie delle misure converge e si ha uguaglianza ( misura dell' unione= somma delle misure).

Perché io non conosco un' insieme " che abbia il + infinito" ( o meglio non lo so costruire), quindi preferisco non avere funzioni che valgano + infinito.

grazie mille anticipo!!

Cercando di interpretare quello che hai scritto, mi pare di capire che tu vorresti considerare la restrizione della misura ai soli insiemi per cui assume un valore finito.

Se è così, certamente lo puoi fare, ma a quel punto ogni enunciato diventa una pena, nel senso che dovrai sempre distinguere dei casi per scansare l'infinito. Pensa ad esempio già solo al passaggio al limite della misura sulle successioni crescenti di insiemi, o alla definizione di insieme misurabile alla Caratheodory.

È vero d'altra parte che ammettendo l'infinito la distinzione di casi deve essere fatta a livello di dimostrazione, ma almeno si salvaguarda l'enunciato, e poi a livello di dimostrazione il caso che considera gli infiniti è spesso quello più semplice. In fondo è un po' come il limite della somma di due successioni , che si enuncia bene ammettendo gli infiniti, anche se poi le distinzioni si fanno a livello di dimostrazione.

Riassumendo, tutto sommato ammettere gli infiniti nella definizione è il male minore.