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Nel fare esercizi mi sono trovato in difficoltà quando dovevo cercare baricentro e superfici dei solidi ottenuti per rotazione.
Un esempio che può essere molto banale ma che già mi fa commettere errori è quello di un cilindro:
0<=y<=1 , 0<=z<=2 e con asse di rotazione l'asse Z .

Bene il cacolo del volume mi viene molto semplice, ed infatti è corretto.

Nel cacolare le coordinate dei baricentri applico la definizione che c'è anche sul libro ovvero Xg= 1/Volume * integrale triplo di x in dx dy e dz ( scusate ma non so dove posso trovare i simboli per evitare di scriverlo a lettere.

In questo caso mi viene Xg=0 , Yg=0 e Zg=0 ....invece il risultato sarebbe (0,0,1).
Mi si azzerano tutti perchè essendo sul piano yz ho imposto che x=0 quindi quando svolgo l'integrale e ho x che varia tra 0 e 0 mi si annulla tutto.

Sicuramente farò un errore stupido e banale ma al momento non me ne sto rendendo conto..

Altro problema viene fuori quando ne devo calcolare la superficie, per calcolarla essendo un cilindro ho semplicemente fatto 2 volte area di base per la superficie della "colonna" , c'è un modo più "matematico" per riuscire a calcolarla?

Ringrazio anticipatamente chiunque mi risponda

ok riscrivo meglio il testo dice :
Calcola Volume, Baricentro e Superficie della seguente figura ruotata attorno all'asse Z

figura:[tex]0\leq y\leq1 , 0\leq z\leq2[/tex]

Ora per il calcolo del volume applico la formula V = [tex]\pi * \int_0^2 \varphi (z) ^2 dz[/tex] dove [tex]\varphi(z) = 1[/tex]

Svolgendo i calcoli infatti ottengo [tex]2\pi[/tex]

Quando mi trovo a cercare le coordinate del baricentro applico la formula

Xg = 1/V * [tex]\iiint x dxdydz[/tex]
Yg = 1/V * [tex]\iiint y dxdydz[/tex]
Zg= 1/V * [tex]\iiint z dxdydz[/tex]

Ora il fatto è che essendo sul piano ZY ho imposto che la X sia 0 , ma essendoci il dx in ogni integrale ottengo sempre una x che mi vale 0 e annulla ovviamente l'integrale. Ovviamente sbaglio, però non me ne capacito di dove.

Passando ora al calcolo della superficie non ho proprio idea di cosa utilizzare se non le formule già note per calcolare la superficie del cilindro. Devo invece applicare qualche formula che comprende integrali?

PS: spero che così si capisca meglio la richiesta

per il baricentro forse dovresti impostare l'integrale in coordinate cilindriche...ad esempio per la coordinata x:

[tex]x_G=(1/V)[/tex][tex]\int\limits_0^2[/tex][tex]\int\limits_0^{2\pi}[/tex][tex]\int\limits_0^1[/tex][tex]r^2cos\theta dr d\theta dz[/tex]

Si si perfetto, col cilindro mi è tornato perfettamente! Spiegazione chiarissima grazie ancora!