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L'esercizio è questo: stabilire per quali valori del parametro il seguente integrale risulta convergente.
dove l'insieme dato è
Eseguo il seguente cambio di variabili per pareggiare gli esponenti a denominatore:
La funzione integranda diventa
mentre l'insieme di integrazione si trasforma in
Adesso
per è
mentre
per è
In ogni caso abbiamo che
sono un numero in quanto integrali propri di funzione continua su insiemi limitati. Quindi, la convergenza dell'integrale sarà determinata dal suo comportamento sull'insieme di partenza. Passando a coordinate polari, dunque, si ha che
L'integrale in è uguale a
Dunque, l'integrale dato converge cioè
Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti.