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Chi mi può spiegare perchè la definizione di gradiente vale solo con derivate parziali in direzioni tra loro ortogonali?
Utilizzando come componenti del vettore gradiente due derivate parziali lungo direzioni tra loro ortogonali (non necessariamente lungo l'asse x ed y) perchè il vettore risultante punta sempre nella direzione del gradiente ?
Se utilizzo come componenti del vettore gradiente le derivate parziali lungo due direzioni che formano ad esempio un angolo maggiore di 90° perchè non funziona ?
Ho cercato su qualche libro di analisi ma la cosa non è spiegata !?
grazie 1000 a tutti !!!

Cerco intanto di rispiegare la domanda, così vedo se l'ho capita io ...

Mettiamoci per semplicità in due variabili. Detti [tex]e_1=(1,0)[/tex] e [tex]e_2=(0,1)[/tex] i due vettori della base canonica, il gradiente (in un certo punto) è definito come il vettore

[tex]\nabla f=\dfrac{\partial f}{\partial e_1}e_1+\dfrac{\partial f}{\partial e_2}e_2[/tex]

Ovviamente, avendo scelto la base canonica, le due derivate parziali scritte sono le derivate parziali rispetto ad x e y della funzione.

Analogamente, se prendo una qualunque base ortonormale [tex]\{v_1,v_2\}[/tex] e calcolo il vettore

[tex]\dfrac{\partial f}{\partial v_1}v_1+\dfrac{\partial f}{\partial v_2}v_2[/tex]

ottengo magicamente lo stesso vettore di prima (ovviamente si intende che le due derivate sono le derivate direzionali rispetto ai vettori della nuova base).

La stessa cosa non succede se la base non è ortonormale. Perché? Detto meglio: perché va bene se è una base ortonormale e perché va male se non lo è?

È una questione di algebra lineare ... Le due derivare direzionali sono i prodotti scalari tra il gradiente e le due direzioni. Quando è che le componenti di un vettore rispetto ad una base sono i prodotti scalari tra il vettore e gli elementi della base stessa? Semplice ... se e solo se la base è ortonormale!

grazie 1000