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Ciao a tutti,
Volevo chiedere se mi potete fare un piccolo riassunto di limiti all'infinito in due variabili su un dato dominio D perché guardando anche sulle video lezioni non mi è sembrato di vedere limiti su un dominio specifico ma su tutto R^2 ( se dico male correggetemi!!)

Se può essere d'aiuto per la spiegazione metto anche un limite da calcolare su dei domini, così da poter usare come esempio:

Lim (x^2 +y^2 --> +oo) di (x+y)* arctan(y^2)
Da calcolare su
- R^2
- D1 {0<=y<=x}
- D2 { 0<=y<=1 e x>=0}
- D3 {x+y>=1}
- D4 { x^1/2 <=y<=x }
- D5 { x>=1 e 0<=y<=1/x}

Ho scritto tanti domini lo so però se riuscite a spiegarmi come si fa una volta capito il metodo sarà molto schematica la cosa.

Grazie a tutti in anticipo

Trattandosi di limiti in 2 variabili, inizio a spostare nella sezione giusta.

Grazie, non mi ero accorto di aver sbagliato sezione

Spero in un intervento illuminante...

La differenza tra i limiti all'infinito su tutto lo spazio e quelli su domini e' che nel secondo caso hai delle restrizioni in piu': ad esempio per dimostrare che il limite non esiste devi considerare due curve su cui il limite e' diverso ma che stanno nel dominio. Vediamo il tuo limite con [tex]f(x,y) = (x+y)\arctan(y^2)[/tex]. Su [tex]R^2[/tex] il limite non esiste: basta considerare [tex]f(0,y)[/tex], che per [tex]y\rightarrow +\infty[/tex] va a [tex]+\infty[/tex], mentre per [tex]y\rightarrow -\infty[/tex] va a [tex]-\infty[/tex]. Nel caso del dominio [tex]D_1[/tex] ancora il limite non esiste ma le due curve di prima non stanno in [tex]D_1[/tex] per [tex]y[/tex] molto grandi o molto negativi. Quindi devi cambiare curve. Se prendi [tex]f(x,x)[/tex] questa tende a [tex]+\infty[/tex] quando [tex]x\rightarrow +\infty[/tex], se consideri [tex]f(x,0)[/tex] invece è costantemente nulla. Sul dominio [tex]D_4[/tex] invece il limite esiste ed è [tex]+\infty[/tex], infatti quando [tex]x^2+y^2\rightarrow+\infty[/tex] in [tex]D_4[/tex] allora sia [tex]x[/tex] che [tex]y[/tex] tendono a [tex]+\infty[/tex]. Nel dominio [tex]D_5[/tex] il limite esiste ed è [tex]0[/tex]. Quando infatti [tex]x^2+y^2\rightarrow+\infty[/tex] in [tex]D_5[/tex] allora [tex]x\rightarrow +\infty[/tex] mentre [tex]y\rightarrow 0[/tex] (non basta!), inoltre si ha
[tex]0\leq f(x,y) \leq (x+1)\displaystyle \frac{1}{x^2}.[/tex]
In generale se vuoi dimostrare che un limite esiste in un dominio per prima cosa devi capire come è fatto il dominio (la prima domanda è chi può andare all'infinito in quel dominio) poi se ti servono delle stime queste devono essere valide nel dominio in questione (non in generale).

Penso proprio di aver capito, grazie mille per la spiegazione.

Se nel fare esercizi tornerò in questo post a far domande