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Non saprei. Ho pensato ad una sorta di cambio di variabile, tipo xy=t, e quindi l'approssimazione ad una funzione di una variabile. Aspettiamo chiarimenti.
Intanto, ti chiedo di aiutarmi con: log^2 (1 + sin(xy)). Sviluppo di Taylor con n= 4 ed ho ottenuto x^2 y^2. Devo capire il ruolo dell'origine
So che è stazionario perché manca il grado 2, poi?

Forse, essendo positiva, si annullerà nell'origine che è pertanto un minimo?

La situazione e' questa: se vi fermate allo sviluppo

[tex]f(x,y) = 1 + x^2y^2 + o(x^2y^2)[/tex]

potete affermare senza problemi che nell'origine avete un punto di minimo in quanto nell'origine la funzione vale 1 e in un intorno dell'origine [tex]x^2y^2 + o(x^2y^2) > 0[/tex] (esattamente come in una variabile, dato che vicino all'origine [tex]o(x^2y^2)<<x^2y^2[/tex]).

Se invece procedete con lo sviluppo e scrivete [tex]f(x,y) = 1 + x^2y^2 + o((x^2+y^2)^2)[/tex] a questo punto da qui non potete più concludere nulla. Non perchè il punto non sia più un punto di minimo per la funzione in questione (e ci mancherebbe!), ma perchè in questo ultimo passaggio avete perso delle informazioni e una funzione con questo ultimo sviluppo potrebbe avere o meno un punto di minimo nell'origine. E' solo il passaggio

[tex]f(x,y) = 1 + x^2y^2 + o((x^2+y^2)^2)[/tex] implica f ha un minimo nell'origine

ad essere NON corretto, ma questo non ha nulla a che fare con il fatto che la funzione di partenza abia o meno un minimo nell'origine.



In generale quando scrivete uno sviluppo di Taylor vi dimenticate di quale era la funzione di partenza, ciò che conta sono solo le proprietà che si possono dedurre dallo sviluppo a cui siete arrivati, si stanno gettando delle informazioni, con l'idea che quelle che si buttano non sono rilevanti. Se però se ne buttano troppe non si può più dedurre nulla e bisogna tornare indietro per controllare se si è buttato qualche cosa di importante. Come in questo caso, avete buttato l'informazione che f in realtà dipende solo dal prodotto [tex]xy[/tex].

Basta pensare ai due esempi

[tex]f_1(x,y)=1+x^2y^2+x^8[/tex]

[tex]f_2(x,y)=1+x^2y^2-x^8[/tex]

In entrambi i casi è corretto affermare che

[tex]f(x,y)=1+x^2y^2+o((x^2+y^2)^2)[/tex]

ma il comportamento nell'origine è diverso nei 2 casi. Quindi da quello sviluppo non si può dedurre molto sulla natura dell'origine.