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Avrei dei dubbi riguardo la dimostrazione per cui se ho una successione di operatori compatti da uno spazio normato a uno spazio metrico completo che tendono, uniformemente sui limitati, a una certa , allora quest'ultima è un operatore compatto.
Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni esista un compatto che disti meno di da , dove con si indica un insieme limitato di . Tuttavia, nella dimostrazione, si fa uso della totale limitatezza di , ma non si menzionano compatti. Credo che si possa facilmente risolvere questo punto andando semplicemente a considerare un compatto che sta vicino a e poi sfruttare la convergenza uniforme.
Quello che non capisco è come mai, dato che è completo, si possa affermare che basti lavorare con insieme totalmente limitati. Il teorema in cui entrano in gioco completezza dello spazio (di tutto, però) e totale limitatezza è quello della caratterizzazione dei compatti in spazi metrici, ma non mi sembra che serva in questo caso, dato che stiamo lavorando con relativamente compatti.

Non so se è ho capito bene il tuo dubbio, comunque la chiusura di è compatta e quindi totalmente limitata, d’altra parte un insieme è totalmente limitato se e solo se lo è la sua chiusura e quindi anche è totalmente limitata..

Ecco, non avevo segnato che bastasse la totale limitatezza. Quindi vale che in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?
(Sicuramente se non ho la completezza questo non è vero, basti pensare a )

In questo teorema l'ipotesi di convergenza uniforme sui limitati è veramente necessaria, ad esempio in un Hilbert le proiezioni sui sottospazi sono compatte, tendono all'identità solo puntualmente, ed infatti l'identità non è compatta, corretto?

Direi di sì, con dimostrazione simile a quella del teorema di approssimazione di operatori compatti in Hilbert (separabili), sempre della lezione 49: in quel caso avevamo operatore compatto e dimostravamo che le lo approssimano uniformemente sui limitati. Il punto chiave era che dato un limitato, lo trasforma in un relativamente compatto, quindi tot. lim.

Nel caso delle sole , è l'identità e non è compatta, ma se prendiamo direttamente un compatto in partenza, l'immagine tramite è già compatta di suo, quindi di nuovo tot. lim. e si può partire con la stessa dimostrazione, stavolta ottenendo che uniformemente sui compatti.