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Salve, provo allora a ripostare la soluzione del punto b) del terzo esercizio dello scritto di Natale.

Si ha che .

In particolare, se mostriamo che il funzionale ha minimo in , dovremmo aver finito. Questa ultima parte dovrebbe essere una applicazione standard di compattezza dei sottolivelli+SCI come visto nel caso 1 dimensionale a lezione.

Per il punto c) invece, si dovrebbe avere inf meno infinito. In particolare, trovando funzione tale che e considerando si dovrebbe avere successione con inf meno infinito.

Una funzione di questo tipo non dovrebbe essere impossibile da trovare, ammettendo di considerare l'inf in (che e' lo stesso per densita'). Se non ho fatto male i conti, una del tipo con dovrebbe tornare aggiustando .


Non riesco a risolvere invece il primo punto del quarto esercizio della simulazione dell'anno nuovo. In particolare, ho provato sia ad utilizzare disuguaglianze per immersioni di Sobolev per dimostrare che l'inf esiste che al contrario a creare una successione con inf meno infinito, ma non riesco in nessuna delle due cose. E' probabile che mi stia sfuggendo qualcosa di basilare, ma non so bene cosa fare.

Allora, per interpolazione la derivata 5 volte starà in , con quello ottenuto dall'immersione di . Per mostrare che questo intervallo è il massimo possibile, bisogna esibire delle funzioni che appartengono a ma non appartengano a se o . Nel primo caso ho considerato delle funzioni radiali del tipo che si annullano fuori da una palla di raggio unitario (idealmente, per esponenti alti i problemi nascono in 0. Inoltre puoi formalizzare il tutto in modo da avere una funzione di Sobolev moltiplicando per una cutoff radiale che si annulli prima di 1) e tutto sembra tornare. Nel secondo, ho provato a fare la stessa cosa , ma stavolta sul complementare della palla unitaria. Svolgendo i calcoli, però, qualcosa non quadra, perché ottengo che i per cui posso trovare un controesempio non arrivano fino a , ma si fermano un po' prima. Se vuoi posso postare la verifica precisa.

Ops, sbagliato compito

Comunque, prova a fare così, dovrebbe tornare:

Per la disuguaglianza alla Poincare',in questo caso particolare dipendeva dal fatto che il dominio era del tipo .

Non mi vengono in mente generalizzazioni vere.Una riformulazione possibile di quello che vogliamo e' che il dominio dovrebbe essere tale che per ogni nella proiezione sulle prime due coordinate , si abbia una costante di Poincare' che dipenda in modo sensato da (ad esempio stia in ), ma non saprei come esprimere in forma generale una tale proprieta'.

Una possibilita' allora e' che detto la lunghezza dell'intervallo massimo tale che per ogni e la costante associata, si abbia integrabile.

Un tipo di insiemi per cui succede dovrebbero essere quelli che per cui gli intervalli hanno lunghezza boundata da sotto. Sarei portato a dire che pero' anche per insiemi tipo la sfera ci possa essere una disuguaglianza di quel tipo, ma non saprei come verificarlo.

Salve professore, abbiamo cercato di risolvere l’esercizio uno del compito NYE. Per quanto riguarda il punto b) abbiamo cercato di risolverlo utilizzando un riscalamento opportuno della funzione



Posta nulla fuori dalla palla unitaria. D’altro canto avevamo pensato di cercare una funzione in che abbia inf negativo, dopodichè con un opportuno riscalamento ottenere inf = e con un lemma di approssimazione trovare una successione infizzante in che ci dia la tesi. Può essere un approccio valido? Altrimenti quale è un metodo per evitare di scrivere funzioni a supporto compatto? O se esistono, quali possono essere migliori alternative per approcciare il problema?

Più nessuno che sta facendo esercizi? Tocca a me provare a rispondere?

Intanto in quell'esercizio è importante capire la morale che ci sta sotto.



Capita l'idea il gioco per il punto (b) è fatto.


Torna? Servono più dettagli?

Sì, torna. Grazie mille!