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Ok credo di aver capito. Dalla regolarità passi alla per il teorema di regolarità. A questo punto per le immersioni avrai sicuramente per qualche . Il problema è che se voglio la C infinità devo iterare, e mi sembra che nel momento in cui si possano usare le stime di Schauder per concludere che .

Allora a questo punto si dovrebbe dimostrare che , con , eventualmente.

Un altro modo potrebbe essere dimostrare che , e da qui per regolarità avrei , e se riuscissi a iterare potrei avere immersioni nei che voglio.

Il punto è che nessuno di questi due casi mi sembra così "in discesa" (soprattutto il primo, non ho idea di come usare le stime di Schauder in quel modo).

Quindi cosa avete in mente per ottenere regolarità?

Avevo risposto di fretta, ci penso un altro po’..

Io pensavo alla seconda che accenni, "scrivi" esplicitamente la derivata quarta di e sai concludere dopo aver osservato che per i teoremi di immersione. A questo punto ripeti, osservando di volta in volta che le derivate giuste sono uniformemente limitate e che le altre (solo le ultime due) compaiono con esponente al più .

Potremmo anche direttamente dire:
, dunque . Ora , allora, per le immersioni ho per il valore giusto di .

Adesso dimostriamo che prodotto di Holder limitate è Holder.
Infatti .

Dunque , quindi per Schauder , ma allora tutte le derivate FINO al secondo ordine sono Holder (perché hanno gradiente limitato, quindi sono Lipschitz ed essendo su un limitato sono quindi Holder).

Ancora per il prodotto di Holder, abbiamo che , quindi e ripetendo analogamente si ha

Mi sembra che torni tutto. L’unico dubbio (che effettivamente mi sembra non si sia affrontato durante il corso) è come usare esplicitamente le stime di Schauder per guadagnare regolarità.

Eccomi di ritorno. Vedo che è stato un pomeriggio intenso: magari ci fosse questo tipo di interazione durante i corsi! Ma almeno avendo tutto on-line si può interagire dopo. Rispondo ai punti segnalati.

Per quanto riguarda il , alla lezione 42 sono stato troppo ottimista e ho detto una cosa falsa . Il bootstrap funziona solo fino alla dimensione 4, poi basta. Il problema è nell'implicazione

,

la quale vale solo fino alla dimensione 4. La dimostrazione è abbastanza semplice, anche se non ovvia. Come avete osservato, quando uno va a scrivere la formula per la derivata k-esima della composizione, vengono fuori tanti termini, purtroppo anche con potenze elevate delle derivate. La fortuna però è che le derivate più alte compaiono con esponente 1 (e quindi hanno la sommabilità 2), quelle di ordine immediatamente inferiore compaiono con esponente 2, ma fortunatamente stanno in grazie alle immersioni (e qui serve la dimensione minore o uguale a 4), e tutte le precedenti sono continue (sempre per le immersioni), quindi no problem anche se hanno esponenti esagerati. Torna questo discorso?

[Piccola partentesi: dimostrare che l'implicazione di sopra è falsa in dimensione 5 è un esercizio interessante ...]

Quindi sì, in dimensione minore o uguale a 4 è discesa dopo aver fatto i primi passi, anche se con un po' di fatica (morale: fatica e dimensione bassa aiutano).

Allo stesso modo si tratta la potenza buffa dell'esercizio del compito di prova, ma solo grazie al fatto che l'argomento di troncamento ci ha portato "gratis" in . Senza quello restavamo al palo.

Detto questo, possiamo chiederci come si potrebbe fare il sin u in dimensione 2018, o anche 2019 visto che siamo già nel nuovo anno. Apparentemente la teoria non basta, quindi temo che occorra usare dei cannoni più potenti, come avete già osservato nei post precedenti. Vedo due possibilità.

La prima è usare la teoria . Visto che sin u sta un tutti gli , allora u sta in tutti i , ma allora sin u sta in tutti gli (questo mi sembra vero), e così via per bootstrap.
Occhio che per il singolo p non è vero, cioè l'implicazione



è in generale falsa, quindi è fondamentale l'uso combinato di tutti i p messi insieme. Occhio anche che non esiste una teoria , quindi la fatica di far lavorare insieme i vari p va fatta tutta!

La seconda via d'uscita è usare il primo alto per andare a finire in un abbastanza alto da immergersi in qualche ed a quel punto si procede per bootstrap con la teoria di Schauder.

Tornano questi due procedimenti?

E l'equazione è solo semi-lineare... Quando diventa quasi-lineare ridiamo davvero

Quindi all’esame possiamo usare anche fatti noti della teoria e delle stime di Schauder, anche se a lezione non li abbiamo dimostrati?

Tra le varie cose istruttive, mi pare che sia rimasta da chiarire la possibilità di ambientare il problema iniziale in .

Provo a rispondere alla domanda. Se ho capito ci si chiede se ha senso/si puo' studiare il problema di minimo relativo ad in . Non vorrei star commettendo errori marchiani, ma mi verrebbe da dire si': i termini nell'integrale hanno tutti valore positivo e quindi l'integrale ha senso ammettendo che possa assumere anche il valore .

Inoltre, non e' costantemente infinito nella classe di funzioni scelta:la funzione costante ad esempio rispetta le condizioni richieste ed ha finito. Dato che e' limitato, un bound su mi da' un bound su . Adesso nei sottolivelli quindi ho convergenza debole e con immersioni compatte dovrei avere compattezza. Per la SCI mi sembra che la convessita' del funzionale dovrebbe garantire il non avere problemi.

Visto che si è discusso solo del primo esercizio mi intrometto postando la mia soluzione del terzo esercizio del compito di Natale, più che altro per capire se ci possano essere errori più o meno gravi nel mio ragionamento

Dando uno sguardo veloce mi sembra che nel punto b le non siano a supporto compatto.

Ho modificato la soluzione del primo esercizio in base a quello che è venuto fuori dalla discussione. Colgo l'occasione per chiedere consiglio sul punto b del terzo esercizio e su come provare l'ultimo punto dell'ultimo esercizio (compito di Natale). Grazie in anticipo per l'aiuto!

Com'è che i messaggi di ieri sono stati tutti cancellati?