Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto
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- Iscritto il:martedì 1 gennaio 2019, 23:05 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Avrei dei dubbi riguardo la dimostrazione per cui se ho una successione di operatori compatti da uno spazio normato a uno spazio metrico completo che tendono, uniformemente sui limitati, a una certa , allora quest'ultima è un operatore compatto.
Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni esista un compatto che disti meno di da , dove con si indica un insieme limitato di . Tuttavia, nella dimostrazione, si fa uso della totale limitatezza di , ma non si menzionano compatti. Credo che si possa facilmente risolvere questo punto andando semplicemente a considerare un compatto che sta vicino a e poi sfruttare la convergenza uniforme.
Quello che non capisco è come mai, dato che è completo, si possa affermare che basti lavorare con insieme totalmente limitati. Il teorema in cui entrano in gioco completezza dello spazio (di tutto, però) e totale limitatezza è quello della caratterizzazione dei compatti in spazi metrici, ma non mi sembra che serva in questo caso, dato che stiamo lavorando con relativamente compatti.
Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni esista un compatto che disti meno di da , dove con si indica un insieme limitato di . Tuttavia, nella dimostrazione, si fa uso della totale limitatezza di , ma non si menzionano compatti. Credo che si possa facilmente risolvere questo punto andando semplicemente a considerare un compatto che sta vicino a e poi sfruttare la convergenza uniforme.
Quello che non capisco è come mai, dato che è completo, si possa affermare che basti lavorare con insieme totalmente limitati. Il teorema in cui entrano in gioco completezza dello spazio (di tutto, però) e totale limitatezza è quello della caratterizzazione dei compatti in spazi metrici, ma non mi sembra che serva in questo caso, dato che stiamo lavorando con relativamente compatti.
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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto
Non so se è ho capito bene il tuo dubbio, comunque la chiusura di è compatta e quindi totalmente limitata, d’altra parte un insieme è totalmente limitato se e solo se lo è la sua chiusura e quindi anche è totalmente limitata..
- Massimo Gobbino
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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto
Ecco, non avevo segnato che bastasse la totale limitatezza. Quindi vale che in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?
(Sicuramente se non ho la completezza questo non è vero, basti pensare a )
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- Massimo Gobbino
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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto
In questo teorema l'ipotesi di convergenza uniforme sui limitati è veramente necessaria, ad esempio in un Hilbert le proiezioni sui sottospazi sono compatte, tendono all'identità solo puntualmente, ed infatti l'identità non è compatta, corretto?
- Massimo Gobbino
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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto
Direi di sì, con dimostrazione simile a quella del teorema di approssimazione di operatori compatti in Hilbert (separabili), sempre della lezione 49: in quel caso avevamo operatore compatto e dimostravamo che le lo approssimano uniformemente sui limitati. Il punto chiave era che dato un limitato, lo trasforma in un relativamente compatto, quindi tot. lim.
Nel caso delle sole , è l'identità e non è compatta, ma se prendiamo direttamente un compatto in partenza, l'immagine tramite è già compatta di suo, quindi di nuovo tot. lim. e si può partire con la stessa dimostrazione, stavolta ottenendo che uniformemente sui compatti.
Nel caso delle sole , è l'identità e non è compatta, ma se prendiamo direttamente un compatto in partenza, l'immagine tramite è già compatta di suo, quindi di nuovo tot. lim. e si può partire con la stessa dimostrazione, stavolta ottenendo che uniformemente sui compatti.
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