Non mi sembra il caso di aprire un thread solo per questo dubbio, quindi mi limiterei a scriverlo qui. Quando si studia il laplaciano come operatore diagonale, lo vediamo come l’inverso della doppia primitiva. Dopodiché, a seconda delle BC imposte, verranno diversi autovalori e autovettori. Ad esempio, nel caso di DBC su un intervallo, vengono come autovettori . Mi chiedevo se si potesse dire, a priori, che gli autovettori trovati costituiscono (opportunamente normalizzati) una base hilbertiana di . Direi di sì, visto che la doppia primitiva è lineare, simmetrica e compatta, e quindi per il teorema spettrale ammette una base ortonormale di autovettori (e dai conti i seni sono gli unici autovettori), ma non sono troppo sicuro del ragionamento.
[EDIT by Massimo Gobbino] Ho creato un nuovo thread, perché mi sembrava più razionale.
Autovalori/autovettori del Laplaciano
-
- Affezionato frequentatore
- Messaggi:48
- Iscritto il:martedì 1 gennaio 2019, 23:05 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
-
- Affezionato frequentatore
- Messaggi:48
- Iscritto il:martedì 1 gennaio 2019, 23:05 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Re: Autovalori/autovettori del Laplaciano
Segnalo un fatto che mi sembra interessante. Se la questione sollevata dalla domanda fosse vera, a quel punto nell'esercizio in cui consideravamo gli autovalori e gli autovettori dell'inverso del laplaciano su , che tornano e , avremmo che la densità di in discenderebbe non solo dal fatto che posso approssimare i rettangolini, maanche da considerazioni puramente teoriche. Questo potrebbe essere utile nel caso in cui abbia autovettori complicati (magari associati a domini balordi) il cui span risulterebbe denso direttamente dal teorema spettrale.
L'unico problema è che non saprei come dimostrare che, effettivamente, quelli che ho fornito sono i soli autovettori di . per ottenerli ho usato il metodo della separazione delle variabili, e non è detto, a priori, che tutti gli autovalori si possano scrivere a quel modo.
L'unico problema è che non saprei come dimostrare che, effettivamente, quelli che ho fornito sono i soli autovettori di . per ottenerli ho usato il metodo della separazione delle variabili, e non è detto, a priori, che tutti gli autovalori si possano scrivere a quel modo.
- Massimo Gobbino
- Amministratore del Sito
- Messaggi:2298
- Iscritto il:lunedì 29 novembre 2004, 19:00
- Località:Pisa
- Contatta:
-
- Affezionato frequentatore
- Messaggi:48
- Iscritto il:martedì 1 gennaio 2019, 23:05 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Re: Autovalori/autovettori del Laplaciano
Forse è il caso di esplicitare questa questione sui rettangolini, per vedere se ho capito cosa intende. Per rettangolini intende quei rettangolini la cui serie di Fourier si scrive con i soli seni? Oppure come si dovrebbe fare questa approssimazione?
-
- Affezionato frequentatore
- Messaggi:48
- Iscritto il:martedì 1 gennaio 2019, 23:05 [phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/vendor/twig/twig/lib/Twig/Extension/Core.php on line 1236: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable
Re: Autovalori/autovettori del Laplaciano
Il buon dalmol mi ha fatto notare che dovrebbe bastare approssimare gli intervallini in dimensione 1 e fare il prodotto. E io che sono andato a pensare alle serie di Fourier
- Massimo Gobbino
- Amministratore del Sito
- Messaggi:2298
- Iscritto il:lunedì 29 novembre 2004, 19:00
- Località:Pisa
- Contatta:
Re: Autovalori/autovettori del Laplaciano
Ma ... sono serie di Fourier!
Si approssima la funzione caratteristica di [a,b] in una variabile con una somma finita di seni nella variabile x. Poi si approssima la funzione caratteristica di [c,d] in una variabile con una somma finita di altri seni nella variabile y. Moltiplicando abbiamo approssimato il rettangolo [a,b]*[c,d] in due variabili con una somma finita di prodotti di seni, ed il gioco è fatto.
Pensavo si fosse capito
Si approssima la funzione caratteristica di [a,b] in una variabile con una somma finita di seni nella variabile x. Poi si approssima la funzione caratteristica di [c,d] in una variabile con una somma finita di altri seni nella variabile y. Moltiplicando abbiamo approssimato il rettangolo [a,b]*[c,d] in due variabili con una somma finita di prodotti di seni, ed il gioco è fatto.
Pensavo si fosse capito
Torna a “Istituzioni di Analisi Matematica”
Chi c’è in linea
Visitano il forum: Nessuno e 12 ospiti