Funzionali quadratici con v non nulle al bordo
Inviato: sabato 15 settembre 2018, 19:42
Carissimi,
Sto cercando di risolvere il problema 3 del dello scritto del 25 dicembre 2015, punto (c).
A meno di un cambio di variabile , viene chiesto di studiare per quali l ha minimo il problema
$$ \min \left\{ G(v) = \int_0^l \dot{v}^2- v^2 : v(0) = 0,\ v(l) = 2016-\frac{7}{2}l \right\}$$
Io ho proceduto così:
0. Notare che la ELE è la classica , che ha come soluzioni (usando solo ) le
1. La variazione seconda del funzionale è stesso in qualsiasi candidato punto minimo. Quindi, se , non ci sono WLM e quindi neppure minimi globali.
2. Per la ELE non ha soluzioni: infatti imponendo la condizione in otteniamo , assurdo. Non essendoci DLM, non ci sono neanche minimi globali.
3. Per il caso , notiamo che l'eccesso di weierstrass è un quadrato perfetto , perciò usando la WRF otteniamo
$$F(u) - F(u_0) = \int_0^l E(x,u(x), p(x,u(x)), \dot{u}(x)) \ge 0$$
Perciò è effettivamente un minimo globale.
Visto che di solito faccio errori sparsi (e che all'inizio del post la 3 non riuscivo a farla da un'ora), potreste dirmi se è corretto e se in sede di scritto servirebbero argomentazioni ulteriori? Grazie!
Sto cercando di risolvere il problema 3 del dello scritto del 25 dicembre 2015, punto (c).
A meno di un cambio di variabile , viene chiesto di studiare per quali l ha minimo il problema
$$ \min \left\{ G(v) = \int_0^l \dot{v}^2- v^2 : v(0) = 0,\ v(l) = 2016-\frac{7}{2}l \right\}$$
Io ho proceduto così:
0. Notare che la ELE è la classica , che ha come soluzioni (usando solo ) le
1. La variazione seconda del funzionale è stesso in qualsiasi candidato punto minimo. Quindi, se , non ci sono WLM e quindi neppure minimi globali.
2. Per la ELE non ha soluzioni: infatti imponendo la condizione in otteniamo , assurdo. Non essendoci DLM, non ci sono neanche minimi globali.
3. Per il caso , notiamo che l'eccesso di weierstrass è un quadrato perfetto , perciò usando la WRF otteniamo
$$F(u) - F(u_0) = \int_0^l E(x,u(x), p(x,u(x)), \dot{u}(x)) \ge 0$$
Perciò è effettivamente un minimo globale.
Visto che di solito faccio errori sparsi (e che all'inizio del post la 3 non riuscivo a farla da un'ora), potreste dirmi se è corretto e se in sede di scritto servirebbero argomentazioni ulteriori? Grazie!