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Salve,

nell'esercizio 6 il secondo punto che chiede? Di dimostrare che un eventuale minimo è necessariamente crescente?

Per poter fare la radice senza modulo nell'ultimo punto

Gli esercizi 4 5 e 6 di questa sezione erano davvero interessanti. Grazie

Personalmente dall'Eulero differenziale più qualche mini osservazione ho dedotto che la funzione fosse non decrescente, dopodichè ho fatto la radice e ho esplicitato il minimo direzionale. Poi, per l'unicità, dato che un altro eventuale minimo globale doveva soddisfare l'equazione di Eulero e quindi essere non decrescente, ho dedotto l'unicità tramite una disuguaglianza... mi son perso qualcosa?

Edit: Eulero in forma Erdmann. E poi mi sono espresso male, non "un altro eventuale" ma "un eventuale".

Ma perché esiste il minimo?

Ok, ho capito la falla del mio ragionamento Ci penso...

Ok, ho apprezzato ora l'utilità del secondo punto (che si può fare troncando sopra 1 o sotto 0 e poi approssimando accuratamente, oppure "riempiendo le buche" e poi approssimando...).

L'utilità di quell'osservazione serve a limitare u dall'alto e dal basso, ergo a poter usare il metodo diretto. Ora va bene, la dimostrazione E in effetti, per dimostrare l'unicità, l'ipotesi di crescenza non serve.

EDIT: devo finire il passo di regolarità, non vorrei aver detto una sciocchezza.

EDIT[tex]^2[/tex]: la regolarità non serve nemmeno. Una volta che so che il minimo esiste, uso la disuguaglianza di Jensen e concludo. Dovrebbe funzionare, ora...

Diciamo che la mia vena probabilistica mi suggerisce che la varianza di una variabile aleatoria è sempre positiva, ed è nulla se e solo se essa è costante.

Detto ciò, restringendoci alle funzioni crescenti, si ha che il "valore atteso" è fissato, e quindi non stiamo facendo altro che minimizzare il momento secondo, che è minimo per le costanti, appunto. Da qui si ha l'equazione di Eulero in forma di Erdmann

Detto altrimenti:

[tex]\displaystyle \int_0^1 \frac{\dot{v}^2}{(1+v^2)^2} \ dx \ge \left( \int_0^1 \frac{\dot{v}}{1+v^2} \ dx \right)^2[/tex]

e il RHS è fissato perchè abbiamo gli estremi fissati. In più l'uguaglianza vale se l'integrando al LHS è costante, e da qui si ha l'equazione in forma di Erdmann.