Forum Studenti

Ciao a tutti! Ho provato a risolvere il seguente esercizio:

Sia [tex]A \in \mathcal{M}_n \left(\mathbb{R}\right)[/tex] una matrice tale ogni suo elemento appartenga a [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Si dimostri che [tex]KerA[/tex] possiede una base di vettori appartenenti a [tex]\mathbb{Z}^n[/tex].

Ho provato a ragionare in questo modo: effettuando operazioni elementari per riga risolvo il sistema lineare [tex]AX=0[/tex] trovando una base di [tex]KerA[/tex] composta di vettori appartenenti a [tex]\mathbb{Q}^n[/tex] infatti con operazioni elementari di secondo tipo moltiplico le righe solo per [tex]\lambda \in \mathbb{Q}[/tex]. Sia [tex]\mathcal{B}=\left\{q_1,\cdots,q_k\right\}[/tex] una base di [tex]KerA[/tex] con [tex]q_i \in \mathbb{Q}^n\ \forall i \in \left\{1,\cdots,k\right\}[/tex], allora avrò che [tex]q_i=\left(\frac{a_{i,1}}{b_{i,1}},\cdots,\frac{a_{i,n}}{b_{i,n}}\right)[/tex] dove [tex]\forall j \in \left\{1,\cdots,n\right\}\quad a_{i,j}, b_{i,j} \in \mathbb{Z}[/tex] quindi detto [tex]m_i=mcm\left(b_{i,1},\cdots,b_{i,n}\right)[/tex] avrò che [tex]\tilde{\mathcal{B}}=\left\{m_1q_1,\cdots,m_kq_k\right\}[/tex] è la base cercata??

Certamente: si trova la base in Q e poi si moltiplica tutto in modo da sbattere via i denominatori. Dovresti verificare che quella che ottieni è ancora una base, ma è una verifica tranquillissima.

A questo punto rilancio: data una matrice A a coefficienti interi simmetrica e definita positiva, è vero che esiste una matrice M a coefficienti interi tale che

[tex]M^tAM[/tex]

ha tutti interi positivi sulla diagonale e 0 altrove?

La trasposta di M o di A?

Di M, naturalmente. Farla di A non avrebbe molto senso ...