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Prendendo di riferimento il terzo sistema, composto dalle equazioni [tex]2x-3y=5[/tex] e [tex]-4x+6y=-10[/tex], a prima occhiata direi che ha numero di soluzioni infinite, ma poi svolgendo i calcoli (per sostituzione) mi viene soluzione unica... Provando a svolgere con la matrice completa mi viene che è impossibile! Perchè?

La seconda equazione è la prima moltiplicata per -2,quindi è come avere una sola equazione,cioè devo sostituire una delle due incognite con un parametro,da qui le infinite soluzioni che ti venivano ad occhio. Svolgendo alla gauss facendo la seconda meno 2 volte la prima ottieni 0x+0y=0 cioè nessuna delle due incognite ha il pivot. Per sostituzione ad esempio puoi ricavare dalla prima equazione x=(5+3y)/2 che sostituito nella seconda risulta nella seguente equazione: -4(5+3y)/2+6y=-10 che svolgendo i calcoli diventa -10-6y+6y=-10 da cui si ottiene 0y=0.
E da qui assegni un parametro a y e infinite soluzioni,evidentemente hai solo fatto degli errori di calcolo,se tu postassi i passaggi sarebbe più facile capire dove è arrivato l'errore,spero di esserti stato di aiuto

Grazie mille per la risposta! In effetti ricontrollando i calcoli mi sono accorto di un errore di segno... Il risultato alla fine mi viene [tex](t, (3t+5)/2)[/tex] , mi confermi?

Tu quindi hai considerato x=t,così facendo devi poi risolvere sostituendo a x t e mettendo a soggetto la y nella tua equazione. Il risultato di tale passaggio risulta quindi (t , (2t-5)/3) intuisco però che tu abbia assegnato a y il valore t,per cui il tuo insieme di soluzioni sarà diverso cioè avrai ((3t+5)/2 , t). Fai attenzione a dove scrivi le cose perchè la posizione in cui scrivi un certo valore implica che tu lo riferisca a x o a y. Vanno bene queste due scritture in quanto nessuna delle 2 incognite ha PIVOT,quindi il parametro lo posso assegnare a chi mi pare.

Penso di aver detto una scemenza,considerando la seconda equazione i due coefficienti sono entrambi uguali a zero,ma bisogna considerare un equazione sola no? Per questo si considera che abbiano entrambe pivot a seconda di come sono disposte,cioè se invece di scrivere x y scrivo y x il primo elemento non nullo della riga,cioè il pivot è di x nel primo caso e di y nel secondo giusto?

Esatto

Non vorrei essere troppo insistente su quest'argomento, che si avvicina molto a precorso... Ma mi servirebbe un ultimo chiarimento. Prendendo il sistema con [tex]3x-y=2[/tex] e [tex]x+2y=a (a= lambda)[/tex], dovrei studiare il sistema cioè dire se ha soluz. unica, infinite soluz. o non ha soluzioni. Io inizialmente ho lavorato alla Gauss (3*2°-1°) arrivando al risultato [tex]y=(3a-2)/7[/tex] e sostituendo all'equazione sopra viene [tex]x=(3a+12)/21[/tex]. Ecco a questo punto, pur avendo trovato due soluzioni (x e y) che dipendono da lambda, è giusto dire che il sistema ha soluzioni infinite?

Magari ti sto per dire una scemenza ma di fatto studi "infiniti" sistemi al variare di lambda per i quali,in questo caso, la soluzione sarà sempre unica. Mi spiego meglio: è come se tu studiassi ad esempio un sistema che per seconda equazione ha x+2y=1 poi uno che ha invece x+2y=-3 e così via per ogni valore che può assumere lamba,in genere appartenente a R o a C,ma comunque sia ognuno di questi sistemi avrà soluzione unica,si vede ad esempio studiando il rango della matrice A che risulterà uguale al rango della matrice A|b per ogni valore di lambda e vale 2 in entrambi i casi,per cui per il teorema di rouche capelli il sistema avrà soluzione,ma visto che il rango è uguale al numero di incognite la soluzione sarà unica a prescindere dal parametro lambda oltretutto perchè basta non includerlo in un minore per il calcolo del rango. Spero di non averti detto nulla di sbagliato

Esatto, bastano le formule ottenute da Pirello per concludere che per ogni valore del parametro [tex]a[/tex] la soluzione è unica (dipende da [tex]a[/tex], ovviamente, ma fissato un valore di [tex]a[/tex] la soluzione è unica).

Pirello, occhio al linguaggio: non hai trovato due soluzioni (x e y), ma una sola soluzione (x,y). Dicesi soluzione di un sistema (in due incognite) una qualunque *coppia di valori* che soddisfa tutte le equazioni del sistema.

Grazie mille! Cercherò di essere più preciso con il linguaggio.. L'unica cosa è che per me alcuni concetti citati da Leonardo mi sono ancora ignoti, come il teorema di rouche capelli.. Sono studente solo da quest'anno a Ingegneria TLC, molto probabilmente il Professore ce ne parlerà in seguito.

Sì, ne parleremo in seguito, ma per l'esercizio in questione non c'è nessun bisogno di strumenti che vadano oltre la sostituzione o Gauss.