Distanza con prodotto scalare non standard
Inviato: sabato 7 giugno 2014, 16:52
Ciao a tutti,
mi capita di avere, nello spazio vettoriale
[tex]X = C^0[0, \pi][/tex],
sul quale è definito il prodotto scalare
[tex]fg = \int_0^\pi f(t)g(t) dt[/tex],
due funzioni: [tex]f(t) = sin t[/tex] e [tex]g(t) = sin(2t)[/tex].
Devo calcolare la distanza tra le due funzioni.
Ok, chiamata [tex]d(f, g)[/tex] la distanza tra f(t) e g(t), e chiamato [tex]h(t) = f(t) - g(t)[/tex], so che [tex]d(f, g) = ||<h,h>_B || = \sqrt{<h, h>_B}[/tex].
Bene, diciamo che una possibilità sarebbe quella di prendere l'integrale e fare direttamente:
[tex]d(f, g) = \sqrt{\int_0^\pi h(t)h(t) dt} = \sqrt{\int_0^\pi (sin(t) - sin(2t))^2 dt}[/tex]
Ok, diciamo che un modo un attimino migliore per fare il calcolo è scegliere [tex]sin(t)[/tex] e [tex]sin(2t)[/tex] come base e calcolarsi la matrice B associata al prodotto scalare.
Per la cronaca: [tex]B = \begin{bmatrix}\frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2}\end{bmatrix}[/tex]
Gli integrali in questo caso sono un momento più maneggevoli, ma non di tanto e allora mi chiedevo (e perdonatemi se sto scrivendo una fesseria gigantesca):
non è che per caso la meravigliosa matrice B esiste un modo (la vogliamo chiamare magia?) per calcolarla più rapidamente?
Se ad esempio ho [tex]sin(t), sin(2t), sin(3t)[/tex] la matrice è, se non ho calcolato male, [tex]B = \begin{bmatrix}\frac{\pi}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{2}\end{bmatrix}[/tex]
Tutto questo ha per caso a che fare con la trasformata di Fourier alla quale mi pare abbia fatto accenno il prof. Gobbino in qualche video lezione?
Sorry per il lungo post e per le inevitabili bestialità che avrò scritto.
Ciao, L-
mi capita di avere, nello spazio vettoriale
[tex]X = C^0[0, \pi][/tex],
sul quale è definito il prodotto scalare
[tex]fg = \int_0^\pi f(t)g(t) dt[/tex],
due funzioni: [tex]f(t) = sin t[/tex] e [tex]g(t) = sin(2t)[/tex].
Devo calcolare la distanza tra le due funzioni.
Ok, chiamata [tex]d(f, g)[/tex] la distanza tra f(t) e g(t), e chiamato [tex]h(t) = f(t) - g(t)[/tex], so che [tex]d(f, g) = ||<h,h>_B || = \sqrt{<h, h>_B}[/tex].
Bene, diciamo che una possibilità sarebbe quella di prendere l'integrale e fare direttamente:
[tex]d(f, g) = \sqrt{\int_0^\pi h(t)h(t) dt} = \sqrt{\int_0^\pi (sin(t) - sin(2t))^2 dt}[/tex]
Ok, diciamo che un modo un attimino migliore per fare il calcolo è scegliere [tex]sin(t)[/tex] e [tex]sin(2t)[/tex] come base e calcolarsi la matrice B associata al prodotto scalare.
Per la cronaca: [tex]B = \begin{bmatrix}\frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2}\end{bmatrix}[/tex]
Gli integrali in questo caso sono un momento più maneggevoli, ma non di tanto e allora mi chiedevo (e perdonatemi se sto scrivendo una fesseria gigantesca):
non è che per caso la meravigliosa matrice B esiste un modo (la vogliamo chiamare magia?) per calcolarla più rapidamente?
Se ad esempio ho [tex]sin(t), sin(2t), sin(3t)[/tex] la matrice è, se non ho calcolato male, [tex]B = \begin{bmatrix}\frac{\pi}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{2}\end{bmatrix}[/tex]
Tutto questo ha per caso a che fare con la trasformata di Fourier alla quale mi pare abbia fatto accenno il prof. Gobbino in qualche video lezione?
Sorry per il lungo post e per le inevitabili bestialità che avrò scritto.
Ciao, L-