Forme quadratiche 1

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.42 “Forme quadratiche 1”

[Massimo Gobbino]

Spero che vedere metodi diversi di risoluzione permetta di confrontarne l'efficienza, oltre che di avere una conferma della correttezza dei risultati. Poi prima o poi parleremo di come far funzionare il buon Sylvester anche in alcuni dei casi in cui si incontrano determinanti nulli strada facendo.

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

[alex994]

mi scusi professore mi stava sorgendo un dubbio, ma con sylvester non è possibile determinare quando una forma quadratica è negativa dato che quando guardo i segno dei determinanti devo inserire un + in testa. mi può dire se è così, oppure se sto soltanto dicendo cavolate.

[GIMUSI]

[alex994]

ok grazie

[matt_93]

domanda teorica (riferita alla lezione 52) :
che cosa ha a che fare il segno degli autovalori con la segnatura di una forma quadratica?
Ho capito che la matrice associata a una qualsiasi forma quadratica è simmetrica e, per il teorema spettrale, si diagonalizza mediante una matrice ortogonale.
Quello che non ho capito è il nesso che lega il segno degli autovalori...

[GIMUSI]

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

[GIMUSI]

[Massimo Gobbino]

Dunque, sulla seconda mi hai convinto.

Sulla prima molto meno, e ora mi spiego. Il minore ++0 basta da solo ad escludere ++----. Infatti questa segnatura implicherebbe l'esistenza di un sottospazio di dimensione 4 su cui la forma sarebbe definita negativa, ma allora questo spazio intersecherebbe quello di dimensione 3 corrispondente al primo minore, sul quale dunque ci sarebbe almeno una direzione di negatività, che invece non c'è. Spero che questo ragionamento sia chiaro.

Sembrerebbe di aver concluso ancora più facilmente, ma in realtà non è così perché ... e qui lascio a voi il piacere della scoperta!