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allego per confronto la sintesi dei risultati del test n.19 "Sottospazi vettoriali 1" (ho cancellato le relazioni che non definiscono sottospazi, per gli altri ho indicato solo la dimensione)

ho un dubbio sulla relazione del punto 4: [tex]p(0)\cdot p(\pi)=0[/tex]

in tal caso direi che esistono due sottospazi con [tex]Dim=3[/tex] che verificano la relazione:

- per [tex]p(0)=0[/tex] i polinomi con base: [tex]x^3,x^2,x[/tex]

- per [tex]p(\pi)=0[/tex] i polinomi con base: [tex]x^3-\pi^3,x^2-\pi^2,x-\pi[/tex]

Ma nel punto 4: "p(x) = p(-x)" non definisce un sottospazio di dimensione 3?

ah, si, si è vero! scusa! XD

Nonono. La relazione data definisce un sottoinsieme che non è un sottospazio (è chiuso rispetto al prodotto per scalare, ma non rispetto alla somma, come si verifica facilmente). Punto.

Poi è vero che il sottoinsieme è unione dei due sottospazi indicati, i quali a sua volta hanno come intersezione il terzo sottospazio indicato, ma questo non cambia la risposta alla domanda. E' come prendere nello spazio l'unione di due piani passanti per l'origine: entrambi sono sottospazi, la loro intersezione è un sottospazio, ma l'unione non è un sottospazio. Quindi se la relazione data definisce l'unione bisognerà farsene una ragione.

chiaro...era proprio questo il dubbio che avevo...esistono tre sottospazi che (presi singolarmente) soddisfano la relazione...ma la relazione non definisce un sottospazio...proprio come gli assi x, y e lo 0 nel piano

esercizio 2:
x^2 + y^2 = 0, mi torna di dimensione 2 ed una possibile base è { (1,1,0), (0,0,1) } indicando z come parametro libero, e trasformando la cartesiana in un equazione parametrica...te come hai fatto a farti venire dimensione 1?
esercizio 3:
come mai x^2 + y^2 + z^2 = 0 ha dimensione 0?

grazie per l'eventuale risposta

Ok, non lo sapevo....
grazie

ciao GIMUSI mi stavo chiedendo quale modo di procedere sia più corretto: il primo è, tramite la definizione di sottospazio, verificare le 2 condizioni: [tex]( x_1 + x_2 ) \in W[/tex] e [tex]ax \in W[/tex] ... il secondo è trasformare le equazioni cartesiane in parametriche e verificare se lo spazio che generano passa per l'origine.. che mi consigli? ho iniziato con il primo metodo solo che ho riscontrato dei problemi: per esempio all'esercizio: [tex]x^2 + y^2 = 1 \to ( x_1 + x_2 )^2 + ( y_1 + y_2 )^2 = 1[/tex] mi porta a verificare che [tex]2(x_1x_2 + y_1y_2) \geq -1[/tex].. e qua non so come procedere.. tu come hai risolto?

ps: Nell'esercizio [tex]x^2 = y^2[/tex] a me viene che la condizione genera un sottospazio di dimensione 2, ho proceduto così: [tex]x^2 = y^2 \implies x = y \implies z = t, y = s, x = s[/tex] cioè s(1,1, 0) + t(0, 0, 1) che genera un piano passante per l'origine.. dove sbaglio?