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non mi è del tutto chiara la logica della dimostrazione del teorema di esistenza e unicità del determinante per i casi n=2 e n=3;

se ho capito bene i passi della dimostrazione sono i seguenti:

1) dapprima si ipotizza l’esistenza della funzione determinante

2) applicando le proprietà basic si arriva ad una espressione del determinante (dubbio : questa è la prova che, se la funzione esiste, essa è unica?)

3) si verifica che tale espressione soddisfa le proprietà basic (dubbio : ma questo non è già implicito nel modo in cui ho derivato l’espressione?)

quindi con il passo "2" si arriva ad una espressione papabile ma che in realtà potrebbe essere fallace?

grazie...ci ragionerò un po' su

ora le cose che non ho capito son diventate due

scherzi a parte con questo esempio la cosa è più chiara...grazie ancora

Dopo il chiarimento per i casi n=2 e n=3, per il caso generale mi pare di aver capito che:

1) unicità:
- si dimostra con l’algoritmo di gauss, nel senso che operando alla gauss ortodosso si può sempre giungere ad una forma triangolare superiore per la quale, in virtù delle proprietà basic, sappiamo calcolare il “papabile” determinante;

- l’algoritmo di gauss ortodosso funziona perché, in virtù delle proprietà basic, sappiamo che esso non modifica il valore del determinante ( dubbio sugli eventuali scambi di righe che ne cambiano il segno; possibile soluzione: non mi pare sia un’operazione indispensabile, cioè mi pare che si possa sempre triangolarizzare anche senza scambi di righe);

- pertanto con gauss si dimostra che, data una matrice nxn, se il determinante esiste (soddisfacimento delle basic) esso ha un unico valore.

2) esistenza
- per mostrarne l’esistenza si ricorre agli sviluppi di laplace applicandoli per induzione;

- il passo base si fa utilizzando il caso n=2 o n=3;

- per il passo induttivo si mostra che, nota l’espressione giusta del det per il caso n, si è in grado di costruirne (con la formula di laplace) un’altra “papabile” per il caso n+1 che soddisfa le proprietà basic.