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Come da tradizione, ecco la simulazione di scritto settimanale. Se però non serve a nulla ditelo, che trovo di meglio da fare .

per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) [tex]\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)[/tex]

(b) [tex](-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)[/tex]

(c) [tex]x-2y+4z+3=0[/tex]

per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per [tex]V[/tex]

[tex]v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

base ortonormale per [tex]V^\perp[/tex]

[tex]w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

(b) matrice proiezione ortogonale su [tex]V[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}[/tex]

per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

[tex]\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}[/tex]

(b) dimensione del ker(f)

[tex]\alpha\neq-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=0[/tex]

[tex]\alpha=-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=1[/tex]

Si, era il piano del punto a che ti chiedevo!

Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora scusa

Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio?
Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?