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Anche io non sono ferratissimo ancora con i cambi di base comunque cerco lo stesso di aiutarti. Allora se non ho capito male si ottengono due matrici,una con le colonne composte dai vettori v di partenza,l'altra con le colonne composte dai vettori w di arrivo,ovviamente nel loro rispettivo ordine. La prima la chiamiamo M e la seconda B ad esempio. A questo punto si sa che la matrice B è quella che dai vettori v da i w rispetto alla canonica.
cioè
B da i w rispetto alla canonica
INPUT comp rispetto a v
OUTPUT comp rispetto alla base canonica
M è la matrice che da i v rispetto alla canonica
INPUT comp rispetto a v
OUTPUT comp rispetto alla canonica

quindi devo invertire M perchè si riferisce ai vettori di cui devo fare l'applicazione lineare. Cioè devo fare in modo di esprimere le comp rispetto a v in output ed è proprio l'inversa che mi permette di farlo.
Per come ho capito io in soldoni la matrice M inversa "aggiusta" i dati nel senso che li esprime come componenti di v quando noi li immettiamo come componenti rispetto alla canonica e B prende proprio le componenti di v e ne fa l'applicazione lineare che come risultato da le componenti rispetto alla canonica. Spero di non aver detto eresie e di esserti stato utile

PS devo impararle per benino anche io queste cose perchè ho ancore qualche lacuna sull'argomento quindi non ti fidare

Ok mi torna tutto tranne che non ho capito bene come sono fatte le tue due matrici.. In base all'esercizio ti verrebbero due matrici con due colonne sole ( la prima , la tua M, con i vettori v; la seconda , la tua B, con i vettori w).. Io ho composto la matrice M ( la mia ) mettendo insieme i vettori di V e di W ( i vettori che compongono le basi dei due sottospazi ) . È giusto o sbagliato??

Mi sono espresso male scusa. Noi abbiamo la base di R^4 data da V+W in somma diretta si ha che con la base di V l'applicazione fa una certa cosa mentre con quella di W un'altra
Quindi la nostra M avrà come colonne (v1,v2,w1,w2) cioè gli elementi della base e questa M va dalla canonica alla nostra base,ma a noi serve che faccia il contrario perchè l'applicazione prende i vettori con quelle componenti e va nella base canonica,per cui invertiamo M. A questo punto la B di cui tanto si parlava è (-v1,-v2,3w1,3w2). L'ordine delle operazioni che si fanno è del tutto analogo a quello della composizione di funzioni,cioè B*M^-1

Perfetto!! Dubbio svelato Praticamente il cambio di base si fa con la matrice senza le condizioni , che bisogna invertire, e quella con le condizioni.. Grazie mille!!