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Ma quando viene chiesto di trovare i sottospazi definiti positivi/negativi, basta prendere gli span degli autovettori relativi agli autovalori positivi/negativi che siano?

Com'è che si trovano i sottospazi col metodo del completamento dei quadrati?

Quindi, in generale, se ho una forma quadratica, questa può essere anche indefinita ma ci potranno essere sottospazi su cui sarà definita positiva/negativa di dimensione massima uguale al numero di autovalori del segno corrispondente.
Cioè: se ho una forma quadratica indefinita e dalla sua matrice associata trovo 2 autovalori negativi, 1 positivo e uno nullo (ad esempio) potrò avere sottospazi di dimensione massima 2 su cui la forma sarà definita negativa,
sottospazi di dimensione massima 1 su cui la forma sarà definita positiva,
sottospazi di dimensione massima 1 su cui la forma sarà nulla...

e per i casi di semidefinita positiva e negativa?

Se invece già dall'inizio la forma quadratica è definita positiva, vuol dire che su ogni sottospazio sarà definita positiva?

Detto questo...scrivo un sottospazio come combinazione lineare della sua base e poi come vettore unico e sostituisco nella forma quadratica per verificare che la forma quadratica sia definita positiva/negativa/nulla su quel sottospazio...

Mentre uso il completamento dei quadrati sulla forma quadratica per "scoprire" su quali sottospazi la forma sarà definita positiva/negativa/nulla...

E' giusto tutto ciò?!

@GIMUSI: Non ho ben capito cosa fai al punto S del secondo esercizio, come lo imposti il sistema??