Sistemi lineari 1

[Pirello]

Prendendo di riferimento il terzo sistema, composto dalle equazioni [tex]2x-3y=5[/tex] e [tex]-4x+6y=-10[/tex], a prima occhiata direi che ha numero di soluzioni infinite, ma poi svolgendo i calcoli (per sostituzione) mi viene soluzione unica... Provando a svolgere con la matrice completa mi viene che è impossibile! Perchè?

[Leonardo]

La seconda equazione è la prima moltiplicata per -2,quindi è come avere una sola equazione,cioè devo sostituire una delle due incognite con un parametro,da qui le infinite soluzioni che ti venivano ad occhio. Svolgendo alla gauss facendo la seconda meno 2 volte la prima ottieni 0x+0y=0 cioè nessuna delle due incognite ha il pivot. Per sostituzione ad esempio puoi ricavare dalla prima equazione x=(5+3y)/2 che sostituito nella seconda risulta nella seguente equazione: -4(5+3y)/2+6y=-10 che svolgendo i calcoli diventa -10-6y+6y=-10 da cui si ottiene 0y=0.
E da qui assegni un parametro a y e infinite soluzioni,evidentemente hai solo fatto degli errori di calcolo,se tu postassi i passaggi sarebbe più facile capire dove è arrivato l'errore,spero di esserti stato di aiuto

[Massimo Gobbino]

[Pirello]

Grazie mille per la risposta! In effetti ricontrollando i calcoli mi sono accorto di un errore di segno... Il risultato alla fine mi viene [tex](t, (3t+5)/2)[/tex] , mi confermi?

[Leonardo]

Tu quindi hai considerato x=t,così facendo devi poi risolvere sostituendo a x t e mettendo a soggetto la y nella tua equazione. Il risultato di tale passaggio risulta quindi (t , (2t-5)/3) intuisco però che tu abbia assegnato a y il valore t,per cui il tuo insieme di soluzioni sarà diverso cioè avrai ((3t+5)/2 , t). Fai attenzione a dove scrivi le cose perchè la posizione in cui scrivi un certo valore implica che tu lo riferisca a x o a y. Vanno bene queste due scritture in quanto nessuna delle 2 incognite ha PIVOT,quindi il parametro lo posso assegnare a chi mi pare.

[Massimo Gobbino]

[Leonardo]

Penso di aver detto una scemenza,considerando la seconda equazione i due coefficienti sono entrambi uguali a zero,ma bisogna considerare un equazione sola no? Per questo si considera che abbiano entrambe pivot a seconda di come sono disposte,cioè se invece di scrivere x y scrivo y x il primo elemento non nullo della riga,cioè il pivot è di x nel primo caso e di y nel secondo giusto?

[Massimo Gobbino]

Esatto

[Pirello]

Non vorrei essere troppo insistente su quest'argomento, che si avvicina molto a precorso... Ma mi servirebbe un ultimo chiarimento. Prendendo il sistema con [tex]3x-y=2[/tex] e [tex]x+2y=a (a= lambda)[/tex], dovrei studiare il sistema cioè dire se ha soluz. unica, infinite soluz. o non ha soluzioni. Io inizialmente ho lavorato alla Gauss (3*2°-1°) arrivando al risultato [tex]y=(3a-2)/7[/tex] e sostituendo all'equazione sopra viene [tex]x=(3a+12)/21[/tex]. Ecco a questo punto, pur avendo trovato due soluzioni (x e y) che dipendono da lambda, è giusto dire che il sistema ha soluzioni infinite?

[Leonardo]

Magari ti sto per dire una scemenza ma di fatto studi "infiniti" sistemi al variare di lambda per i quali,in questo caso, la soluzione sarà sempre unica. Mi spiego meglio: è come se tu studiassi ad esempio un sistema che per seconda equazione ha x+2y=1 poi uno che ha invece x+2y=-3 e così via per ogni valore che può assumere lamba,in genere appartenente a R o a C,ma comunque sia ognuno di questi sistemi avrà soluzione unica,si vede ad esempio studiando il rango della matrice A che risulterà uguale al rango della matrice A|b per ogni valore di lambda e vale 2 in entrambi i casi,per cui per il teorema di rouche capelli il sistema avrà soluzione,ma visto che il rango è uguale al numero di incognite la soluzione sarà unica a prescindere dal parametro lambda oltretutto perchè basta non includerlo in un minore per il calcolo del rango. Spero di non averti detto nulla di sbagliato

[Massimo Gobbino]

Esatto, bastano le formule ottenute da Pirello per concludere che per ogni valore del parametro [tex]a[/tex] la soluzione è unica (dipende da [tex]a[/tex], ovviamente, ma fissato un valore di [tex]a[/tex] la soluzione è unica).

Pirello, occhio al linguaggio: non hai trovato due soluzioni (x e y), ma una sola soluzione (x,y). Dicesi soluzione di un sistema (in due incognite) una qualunque *coppia di valori* che soddisfa tutte le equazioni del sistema.

[Pirello]

Grazie mille! Cercherò di essere più preciso con il linguaggio.. L'unica cosa è che per me alcuni concetti citati da Leonardo mi sono ancora ignoti, come il teorema di rouche capelli.. Sono studente solo da quest'anno a Ingegneria TLC, molto probabilmente il Professore ce ne parlerà in seguito.

[Massimo Gobbino]

Sì, ne parleremo in seguito, ma per l'esercizio in questione non c'è nessun bisogno di strumenti che vadano oltre la sostituzione o Gauss.