Area parallelogramma in R4

[LucaI]

Buongiorno a tutti,

sono un "collega infiltrato" di informatica, studente lavoratore e utilizzatore a distanza delle videolezioni.
Mi chiedevo se qualcuno poteva venirmi in aiuto con il seguente esercizio:

Calcolare l'area del parallelogramma di lati i vettori (1,1,1,0) e (1,1,1,1).
(la risposta è [tex]\sqrt{5}[/tex])

A prima vista mi sembrava semplice e invece chissà perché non mi viene.

Dunque, ho proceduto così:

1 - anche se mi piacerebbe, non posso usare [tex]|v_1 \times v_2 | = |v_1| |v_2| sin\alpha[/tex] perché ho 2 vettori in [tex]\mathbb{R}^4[/tex] (o almeno, se si può, io non ho capito come)
2 - calcolo [tex]|v_1| = \sqrt{3}[/tex]
3 - calcolo [tex]|v_2| = \sqrt{4}[/tex]
4 - [tex]area = |v_1||v_2|sin \alpha = \sqrt{3}\sqrt{4}sin\alpha[/tex]
5 - [tex]sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha[/tex]
6 - [tex]cos\alpha = \frac{<v_1, v_2>}{|v_1||v_2|} = \frac{3}{\sqrt{3}\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}[/tex]
7 - ora so che [tex]sin\alpha=\sqrt{\ - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}[/tex]
8 - [tex]area = \sqrt{3}\sqrt{4}\frac{1}{2}=\sqrt{3}[/tex]

Insomma, gira gira mi viene [tex]\sqrt{3}[/tex] invece di [tex]\sqrt{5}[/tex] e non riesco a capirne il motivo.
Qualcuno vede l'orrore?

Thx, L-

[GIMUSI]

il tuo risultato mi pare corretto...

un altro modo di vederlo è calcolare con GS la componente di [tex]v_1[/tex] ortogonale a [tex]v_2[/tex]

[tex]v_1_o_r_t[/tex] [tex]= (1,1,1,0)-3/4(1,1,1,1)=(1/4,1/4,1/4,-3/4)[/tex]

e poi calcolare l'area

[tex]area = |v_1_o_r_t|*|v_2|=\sqrt12/16*2=\sqrt3[/tex]

[LucaI]

Boh, l'ho trovato in un tema d'esame… ci può anche stare che sia sbagliato il correttore e che il pdf non sia mai stato aggiornato.
P.S.: grazie!