Forum Studenti

Salve a tutti...

avrei bisogno di un indizio per cercare di risolvere il seguente limite di successione:

[tex]\dfrac{\log(n^2+2\sqrt{n})}{\log(n^3+3\sqrt[3]{n})}[/tex]

per adesso ho provato sia a raccogliere che a lavorare con ordini di infinitesimi e mi torna che la funzione tende a '0' ...
mentre dovrebbe tendere a 2/3 (i coefficienti delle radici) cosa dovrei fare???

non ho proprio pensato...grazie mille!!!

Ovviamente poi la soluzione di Noisemaker, brutalmente corretta, andrebbe resa rigorosa con opportuni raccoglimenti.

ehm, nessuno protesta?

sono un pò fermo in analisi (dato che non frequento più), ma mi pare di ricordare che i limiti fatti a metà possono uscire giusti anche se il procedimento è sbagliato.. insomma, è un brutto vizio da non prendere...

l'intuizione è corretta?

Esatto, mai fare i limiti metà per volta! Il 90% delle volte va bene, ma nel restante 10% ...

Dopo aver messo in evidenza n quadro e n cubo sopra e sotto, e arrivo a questo punto, come si procede per arrivare alla ovvia conclusione senza applicare il limite metà per volta?

[tex]=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+2n^(\frac{1}{2} - 2))}{\log(n^3(1+3n^(\frac{1}{3}-3)}=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^2(1+\frac{2}{\sqrt{n^3}}))}{\log(n^3(1+\frac{3}{\sqrt[3]{n^8}}))}[/tex]

diciamo che non me la cavo col latex, quindi ti scrivo i passaggi che mi vengono in mente:

1) "logaritmo del prodotto = somma dei logaritmi"
2) " [tex]log(a^b) = b*log(a)[/tex]" (sto solo citando le proprietà dei logaritmi, e ho usato latex per la prima volta)..
3) raccogli [tex]log(n)[/tex]

dovresti ottenere qualcosa del tipo (mi sono arreso col latex):

log(n) * ( 2 + log("quella roba")/log(n) )
-----------------------------------------------
log(n) * (3 + log("altra roba")/log(n) )

da qui puoi scegliere se semplificare log(n) oppure puoi separare la frazione:

log(n) ( 2 + log("quella roba")/log(n) )
------- * ------------------------------------
log(n) ( 3 + log("altra roba")/log(n) )

e utilizzare la regola "limite di un prodotto = prodotto di limiti"..
spero di averti dato almeno l'idea...