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Dubbi sull'uso degli sviluppi di Taylor....

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}[/tex]

Grazie a tutti per la disponibilità.

Semplicemente, applicando Taylor non capisco dove sbaglio visto che non arrivo al risultato.

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}[/tex]

ricordando che :

[tex]\displaystyle \ln (1+x)= x - {x^2\over 2}+{x^3 \over 3} - {x^4 \over 4} +o(x^4)[/tex]

[tex]\displaystyle \sin x = x -{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!} +o(x^5)[/tex]

[tex]\displaystyle \sinh x = x +{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!} +o(x^5)[/tex]

si ha:

[tex]\displaystyle \log(1+\sin x^3) =[/tex] [tex]\displaystyle \sin x^3 - {(\sin x^3)^2\over 2}+{(\sin x^3)^3 \over 3} +o(\sin x^3) =[/tex] [tex]\displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} - {(x^3 -{x^9\over 3!})^2\over 2} +o(x^9) =[/tex] [tex]\displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 -\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)[/tex]


[tex]\displaystyle \log(1+\sinh x^3) =[/tex] [tex]\displaystyle \sinh x^3 - {(\sinh x^3)^2\over 2}+{(\sinh x^3)^3 \over 3} +o(\sinh x^3) =[/tex] [tex]\displaystyle x^3+{x^9\over 3!}- {(x +{x^3\over 3!})^2\over 2} +o(x^9) =[/tex] [tex]\displaystyle x^3 +{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 +\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)[/tex]

da cui:

[tex]\displaystyle \log(1+\sin x^3)-\displaystyle \log(1+\sinh x^3) =[/tex] [tex]\displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 -\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9) -[/tex] [tex]\displaystyle \left(x^3 +{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 +\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)\right)[/tex] [tex]= \displaystyle-\frac{x^9}{3}[/tex]

Allora

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}=\lim_{x\to 0}\frac{ -\frac{x^9}{3}}{x^9}= -\frac{1}{3}[/tex]

Occhio! Il risultato è giusto, ma i due sviluppi chiave, cioè quello di [tex]\log(1+\sin x^3)[/tex] ed il corrispondente con il sinh, contengono entrambi due errori importanti. Chi corregge?

non hai svolto correttamente il quadrato nei due sviluppi,manca un termine ..almeno credo sia quello l'errore